Исследование задач малой размерности

Теория инвариатов Васильева является бурно развивающейся областью маломерной топологии. Суть ее состоит в том, что инварианты узлов разбиваются (градуируются) на счетное число подпространств, занумерованных натуральными числами -- порядком инварианта. Одной из самых актуальных задач этой области является определение размерностей пространств инвариантов порядка n. Эта задача оказалась довольно сложной и полностью она не решена и сегодня.

1995--1997 годы

Первая оценка сверху ((n-1)!) для размерностей пространств инвариантов порядка n была получена в 1995 году (Дужин С. В., Чмутов С. В., Каишев А. И., Швачко В. А.). Тогда же была установлена связь инвариантов Васильева с функциями Татта для графов, получена новая интерпретация явных формул для инвариантов Арнольда вложенных кривых и новая формула для сферических кривых. Разработано несколько компьютерных программ для вычислений, связанных с инвариантами Васильева и Арнольда [6-94, 7-94, 10-95].

Затем оценка сверху размерностей пространств инвариантов порядка n дважды улучшалась, сначала К. Ng (USA), затем A. Stoimenow (Germany, верхняя оценка n!/exp n).

До работ, выполненых в лаборатории ЗМР (Дужин С. В., Чмутова С. В.) [6-94, 7-94, 7-97] , наилучшая нижняя оценка равнялась n². В указанных работах авторами была исследована структура примитивного пространства инвариантов Васильева узлов. Используя инварианты, возникающие из алгебры Ли gl_N, показано, что с ростом n указанная размерность растет быстрее любого многочлена от n. Точнее, была получена нижняя оценка n^{log n}.

Подготовленный на эту тему препринт немедленно получил широкое распространение и мировое признание. Он послужил толчком к целому ряду научных исследований, в которых принимали участие такие математики как О. Дасбах (Дюссельдорф, Германия), А. Стоименов (Берлин, Германия), Я. Кнайслер (Бонн, Германия), М. Концевич (Париж, Франция), Й. Ронг (Вашингтон, США). Результатами такой бурной атаки явилось, с одной стороны, улучшение нашей оценки до примерно

, а с другой стороны, более полное и детальное изучение тонких алгебраических структур на примитивном пространстве инвариантов Васильева.

1998 год

Введена алгебра, порожденная регулярными трехвалентными графами по модулю некоторого семейства соотношений (Дужин С. В., Чмутов С. В., Каишев А. И., Мешвелиани С. Д.). Выяснена связь этой алгебры с теорией инвариантов узлов конечного порядка. При помощи вычислений на мультипроцессорном кластере (см. рисунок 1) найдена система образующих и соотношения между ними в малых размерностях [8-98, 7-99]. Программа была реализована на Т-языке, и она оказалась хорошим тестовым примером тестирования и исследования текущей (1998 год) версии Т-системы.

2001-2002 годы

Разработана программа (Каишев А. И.) для нахождения окрестности "второй совершенной" формы в полиэдре Вороного [12-01]. Найдена оценка снизу числа неэквивалентных форм-соседей и числа неэквивалентных граней-стенок в размерностях 9-12. Проверены известные результаты в меньших размерностях.

Другие исследования

Кроме теории инвариантов узлов и вложенных кривых в лаборатории ЗМР проводились исследования и в областях математики и математической физики, связанных с теорией динамических систем, уравнений магнитной гидродинамики (с приложением к активным процессам в атмосфере Солнца). Здесь будут упомянуты некоторые из этих работ.

1995 год

Исследована связь между динамическими системами и линейными связностями в областях на комплексной плоскости (Романовский Ю. P.) [12-95, 10-96]. Установлено, что всякая динамическая система порождает единственную связность без кручения, согласованную с комплексной структурой и сохраняющую поле направлений системы. Оператор параллельного перемещения вдоль каждого предельного цикла системы не зависит от выбора комплексной структуры и задается собственным значением отображения Пуанкаре. Построены примеры динамических систем с плоской связностью и грубыми предельными циклами. Подход может быть использован для разработки компьютерного алгоритма построения динамических систем с требуемой осцилляционной динамикой.

Разработаны новые эффективные методы решения двумерных уравнений магнитной гидродинамики в приближении сильного магнитного поля (Титов B.C.). С помощью этих методов найден широкий класс решений, описывающих процесс магнитного пересоединения. Для полученных решений найдены интересные приложения к активным процессам в атмосфере Солнца (так называемые рентгеновские яркие точки) [9-94, 10-94, 11-95].

Проведена серия исследований по применению многомерных матриц и многомерно-матричных функций в решении задач алгебры, логики, дискретной математики и информатики (Гаспарян А. С., Гаспарян A. M.). Разаботаны многомерно-матричные модели ряда алгебраических структур. Предложен метод многомерных перманентов для задач перечислительной комбинаторики, с помощью которого решена задача перечисления латинских конфигураций. Разработан многомерно-матричный аппарат для анализа функций многозначной логики и реляционных структур. Получены новые результаты по теории многомерных матриц и обобщения некоторых классических теорем.

1996 год

Вычислен полный набор инвариантов оптимального семейства трехмерных групп симметрий K-e-модели турбулентных течений (Романовский Ю. Р., Титов В. С., Каишев А. И.). На этой основе составлена библиотека моделей симметричных турбулентных течений, состоящая из 14 систем обыкновенных дифференциальных уравнений, к решению которых сводится построение инвариантных решений. Эта библиотека включает в себя 6 цилиндрических моделей, 6 вращательных моделей и 2 пространственно однородных модели.


	© Исследовательский центр мультипроцессорных систем Институт программных систем имени А.К. Айламазяна РАН