Семинар "Оптимальное управление макросистемами"
10 мая 2006
Ю.Л. Сачков, А.А. Ардентов "Устойчивость эйлеровых эластик.".
В 1744 г. Леонард Эйлер рассмотрел задачу о стационарных конфигурациях
упругого стержня с закрепленными концами и направлением стержня на концах.
Эйлер получил дифференциальные уравнения для конфигураций стержня и описал их
возможные качественные типы; эти конфигурации называются эйлеровыми
эластиками. Известно, что полученные дифференциальные уравнения
интегрируются в эллиптических функциях.
Задача об эластиках может быть сформулирована как некоторая нелинейная
задача оптимального управления в 3-мерном пространстве с 1-мерным
управлением и квадратичным критерием. Эйлеровы эластики суть экстремальные
кривые этой задачи. Устойчивость эйлеровых эластик означает локальную
оптимальность экстремальных кривых,
этот вопрос был исследован лишь в некоторых частных случаях.
В докладе будут изложены следующие результаты:
- О характеристике установившихся режимов;
- благодаря переменным "действие-угол" в фазовой плоскости математического
маятника получена новая параметризация эйлеровых эластик эллиптическими
функциями Якоби;
- с помощью дискретной группы симметрий маятника получена верхняя оценка
времени потери эластиками глобальной оптимальности;
- получено полное описание сопряженных точек, т.е. точек, где эластики
теряют устойчивость;
- построена программа в системе Mathematica для поиска эйлеровых эластик
по краевым условиям.
назад