Объем курса
Осенний семестр: 36 ч. лекции + 36 часов пр. занятия
Весенний семестр: 34 ч. лекции + 17 часов пр. занятия

лектор: к.ф.-м.н. В.А. Юмагужин

Программа курса

1. Векторные поля. Примеры векторных полей. Особая точка векторного поля. Автономные и неавтономные векторные поля.
[1, n.1, n.5].

2. Обыкновенное дифференциальное уравнение, порожденное векторным полем. Фазовое пространство уравнения. Решение уравнения. Начальные данные. Фазовая кривая. Интегральна кривая. Сдвиге по времени решения автономного уравнения.
[1, n.2, n.5, n.10].

3. Теорема существования и единственности решения автономного уравнения с одномерным фазовым пространством. Нарушение единственности решения для недифференцируемых векторных полей.
[1, n.2; 2, n.2].

4. Примеры: уравнение нормального размножения, уравнение взрыва, уравнение размножени с учетом конкуренции, уравнение размножения с учетом квоты отлова, уравнение размножения с относительной квотой.
[2, n.1].

5. Прямое произведение обыкновенных дифференциальных уравнений. Примеры прямых произведений.
[1, n.4].

6. Уравнение с разделяющимися переменными. Теорема о существовании и единственности решения уравнения с разделяющимися переменными. Пример: системы уравнений хищник-жертва, замкнутость фазовых кривых системы уравнений хищник-жертва.
[1, n.5; 2, n.1, n.2].

7. Диффеоморфизм фазового пространства. Преобразование векторных полей и дифференцильных уравнений. Эквивалентность преобразованного и исходного уравнений. Примеры замен переменных и преобразований уравнений.
[2, n.5; 1, n.6].

8. Теоремы существования и единствености, продолжении решения, непрерывной зависимости и дифференцируемости по начальным условиям для системы дифференциальных уравнений 1-го порядка.
[3, гл. 2, n1, гл.4, n.1; 1, n.7, n.8].

9. Эквивалентность уравнения n-го порядка и системы n уравнений 1-го порядка. Системы дифференциальных уравнений.
[1, n.9].

10. Теорема о выпрямлении векторного поля.
[1, n.32].

11. Первые интегралы. Локальные первые интегралы. Примеры.
[1, n.11].

12. Системы линейных дифференциальных уравнений. Пространство решений однородной системы. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.
[4, n.32-34].

13. Линейные однородные уравнения n-го порядка. Понижение порядка
[4, n.36-37].

14. Нули решений линейных однородных уравнений 2-го порядка. Теорема Штурма
[4, n.38].

15. Системы линейных неоднородных уравнений первого порядка. Линейное неоднородное уравнение n-го порядка
[4, n.39-40].

16. Системы линейных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами и линейные уравнени n-го порядка с постоянными коэффициентами
[4, n.41-46].

17. Устойчивость решений по Ляпунову
[4, n.49; 1, n.23].

19. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных 1-го порядка
[2, n.11].

1. В.И.Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Изд-во "Наука", Главна редакция физико-математической литературы, Москва, 1975.

2. В.И.Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Изд-во "Наука", Главна редакция физико-математической литературы, Москва, 1984.

3. В.В.Степанов, Курс дифференциальных уравнений, Гос. изд-во физико-математической литературы, Москва, 1958.

4. И.Г.Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Изд-во "Наука", Главная редакция физико-математической литературы, Москва, 1970.

5. А.Ф.Филиппов, Сборник задач по дифференциальным уравнениям, Изд-во "Наука", Главная редакция физико-математической литературы, Москва, 1985.