|
Архив семинара:
|
15.04.2013, 14.00, в зале заседаний Ученого совета ИПС
Ю.Л. Сачков
Интегрируемость свободной нильпотентной субримановой структуры с вектором роста (2,3,5,8)
Субриманова структура на гладком многообразии M --- это гладкое подрасслоение D \subset TM постоянного ранга, вместе с заданным на D скалярным произведением g. В докладе будут рассмотрены левоинвариантные субримановы структуры (D,g) на группах Ли. В этом случае векторные поля X_1, …. X_k, задающие (D,g) как ортонормированный репер, являются левоинвариантными на некоторой связной односвязной группе Ли G с алгеброй Ли L (при этом X_1, …. X_k порождают алгебру Ли L). Будет рассмотрен случай, когда L есть свободная нильпотентная алгебра Ли L_2^r с двумя образующими длины r (т.е. все скобки Ли порядка > r в L_2^r равны нулю).
В случае r=1 получаем Евклидову геометрию на плоскости.
Случай r = 2 является краеугольным камнем всей субримановой геометрии (субриманова структура на группе Гейзенберга).
В случае r=3 получается нильпотентная субриманова структура с вектором роста (2,3,5), дающая нильпотентную аппроксимацию системы, описывающей качение двух тел без прокручивания и проскальзывания (в своей знаменитой работе 1910 г. Э.Картан показал, что симметрии соответствующего распределения образуют 14-мерную простую алгебру Ли g_2).
При r < 4 гамильтонова система для субримановых геодезических свободной нильпотентной субримановой структуры с алгеброй Ли L_2^r интегрируема по Лиувиллю и проинтегрирована в следующих классах функций:
- r=1: линейные функции,
- r=2: тригонометрические функции,
- r=3: эллиптические функции Якоби.
Основная цель доклада --- рассказать о недавних результатах по случаю r=4, т.е. о нильпотентной субримановой структуре с вектором роста (2,3,5,8):
- модели алгебры Ли L_2^4 в терминах полиномиальных векторных полей в R^8,
- функции Казимира и орбиты коприсоединенного представления,
- алгебра интегралов нормальной гамильтоновой системы принципа максимума Понтрягина, задающей субримановы геодезические.
Вопрос об интегрируемости по Лиувиллю указанной гамильтоновой системы остается открытым: для системы с 8-ю степенями свободы найдено 8 независимых интегралов, из которых в инволюции всего 7.
Автор надеется на помощь слушателей в этом вопросе об интегрируемости.
|