|
Архив семинара: |
21.10.2009, 14.00, комн. 112 ИПС имени А.К. Айламазяна РАН.
Ю.Л.Сачков Задача об оптимальном качении шара по плоскости и субриманова задача на группе Энгеля.(1) Шар катится по плоскости без прокручивания и проскальзывания. Требуется перекатить шар из одной контактной конфигурации в другую так, чтобы длина кривой, пробегаемой точкой контакта шара и плоскости, была минимальной. В.Джарджевич показал в 1993 г., что экстремальные кривые в этой задаче параметризуются эллиптическими функциями и их интегралами, а оптимальное качение шара происходит по эластикам Эйлера. Основной вопрос в этой задаче - когда экстремальные кривые перестают быть оптимальными? Недавно получены верхние оценки для таких точек в терминах корней алгебраических уравнений вдоль экстремальных кривых, однако эффективное описание таких корней отсутствует. Естественный первый шаг для описания таких корней - исследование их асимптотики при качении шара по синусоидам малой амплитуды. (2) Движение машины с прицепом моделируется нелинейной управляемой системой с 4-мерным состоянием и 2-мерным управлением. Точное исследование этой системы не представляется возможным, однако ее нильпотентная аппроксимация является довольно симметричной системой, допускающей точное исследование. Эта аппроксимация есть инвариантная субриманова задача на 4-мерном пространстве (группе Энгеля). Для теории и приложений оптимального управления представляет большой интерес точное описание оптимальных траекторий в этой задаче. На основе этого решения возможно приближенное решение исходной задачи о машине с прицепом. |