% 16.09.97
%
\begin{center}
{\bf Б. Домашнее задание}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item %1
   Установите взаимно-однозначное соответствие между множествами
   всех иррациональных и всех вещественных чисел.
\item %2
   Пусть $D$ --- бесконечное подмножество множества $E$, причем
   дополнение $E\setminus D$ не более чем счетно.
   Установите взаимно-однозначное соответствие между $E$ и $D$.
\item %3
Существует ли непрерывное отображение
   \begin{enumerate}
   \item интервала $(0,1)$,
   \item отрезка $[0,1]$,
   \item полуинтервала $[0,1)$
   \end{enumerate}
на всю вещественную прямую $\R$?
\item %4
   Докажите, что любая непрерывная вещественная функция на окружности
   принимает одинаковые значения в какой-то паре диаметрально противоположных
   точек.
\item %5
   Сосчитайте пределы:
   \begin{enumerate}
   \item $\dspl{\lim_{x\to\pm\infty}(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2})}$,
   \item $\dspl{\lim_{x\to+\infty}x^{1/x}}$,
   \item $\dspl{\lim_{x\to0}{\log_a(1+x)\over x}}$,
   \item $\dspl{\lim_{x\to0}{\cos{x}-\ch{x}\over x}}$,
   \item $\dspl{\lim_{x\to0}{a^x+a^{-x}-2\over x^2}}$,
   \item $\dspl{\lim_{x\to0}{\sin\tg{x}-\tg\sin{x}\over
                \arcsin\arctg{x}-\arctg\arcsin{x}}}$.
   \end{enumerate}
\item %6
   Последовательность $x_n$  состоит из неотрицательных чисел и
   для любых $m$ и $n$ выполнено неравенство $x_{m+n}\le x_m+x_n$.
   Докажите, что последовательность $x_n/n$ имеет предел.
\item %7
   Нарисуйте кривую, заданную уравнением
   $\dspl{\lim_{n\to\infty}(x^{2n}+y^{2n})=1}$.
\item %8
   Пусть $A$, $B$, $C$ --- точки на графике функции $y=\cos{x}$
   с абсциссами $x=-\e,0,\e$. Обозначим через $M(\e)$ центр окружности,
   проходящей через эти точки. Найдите $\dspl{\lim_{\e\to0}M_\e}$.
\item %9
   Последовательность $A_n$ точек плоскости строится по такому правилу.
   Точка $A_0$ совпадает с началом координат $(0,0)$.
   Точка $A_1$ имеет координаты $(1,0)$.
   Для любого $n>1$ вектор $\overline{A_nA_{n+1}}$ получается из вектора
   $\overline{A_{n-1}A_n}$ поворотом на $90^\circ$ против часовой стрелки и
   умножением длины на $\pi/n$. Найти $\dspl{\lim_{n\to\infty}A_n}$.
\end{enumerate}