23.09.97

Домашнее задание #2.

1. Доказать правило Лопиталя для последовательностей: если 
   x_n, y_n -> 0 и существует предел (y_n-y_{n+1})/(x_n-x_{n+1}),
   равный a, то существует и предел y_n/x_n, тоже равный a.
   [В формулировке имеется ошибка, см. следующее задание.]
2. Последовательность x_n строится по правилу:
   x_1=1, x_{n+1}=x_n-ax_n^k, a>0 - вещественное, k>1 - целое.
   Найти асимптотику этой последовательности. Более точно, доказать,
   что при n, стремящемся к бесконечности, x_n эквивалентно 
   последовательности вида cn^{\alpha} и выразить константы
   c и \alpha через c и k.
3. Доказать, что последовательность 1+1/2+1/3+... - ln(n) имеет
   предел.
4. На край стола кладут стопку кирпичей длины 1, из которых каждый
   следующий может быть смещен относительно предыдущего, но так, 
   чтобы вся стопка держалась. На какое наибольшее расстояние
   может удалиться по горизонтали от края стола самый верхний кирпич?