30.09.97

Домашнее задание #3.

1. Придумать контрпример к немонотонному правилу Лопиталя (т.е.
такие две бесконечно малые последовательности x_n, y_n, что
последовательность (y_n - y_{n+1})/(x_n-x_{n+1}) имеет предел, а 
последовательность y_n/x_n расходится.

2. Сформулировать и доказать правило Лопиталя для бесконечно больших
последовательностей.

3. Задачи из лекций.
   Заданы были все, но реально обсуждались в классе следующие две:
   a. Отображение f:R->R обладает таким свойством: образ любого отрезка
является отрезком. Верно ли, что f непрерывно?
   b. вывести из принципа Больцано-Вейерштрасса существование
точной верхней грани у любого ограниченного сверху множества.

4. Исследовать на равномерную сходимость (т.е. определить,
на каких отрезках оси x она имеет место) следующие последовательности:
  a. f_n(x) = x^n,
  b. f_n(x) = x/(1+nx^2),
  c. f_n(x) = nx/(1+n^2x^2).