30.09.97 Домашнее задание #3. 1. Придумать контрпример к немонотонному правилу Лопиталя (т.е. такие две бесконечно малые последовательности x_n, y_n, что последовательность (y_n - y_{n+1})/(x_n-x_{n+1}) имеет предел, а последовательность y_n/x_n расходится. 2. Сформулировать и доказать правило Лопиталя для бесконечно больших последовательностей. 3. Задачи из лекций. Заданы были все, но реально обсуждались в классе следующие две: a. Отображение f:R->R обладает таким свойством: образ любого отрезка является отрезком. Верно ли, что f непрерывно? b. вывести из принципа Больцано-Вейерштрасса существование точной верхней грани у любого ограниченного сверху множества. 4. Исследовать на равномерную сходимость (т.е. определить, на каких отрезках оси x она имеет место) следующие последовательности: a. f_n(x) = x^n, b. f_n(x) = x/(1+nx^2), c. f_n(x) = nx/(1+n^2x^2).