Математический анализ Семинары для студентов 1 курса МК НМУ С.В.Дужин, С.В.Чмутов 4.11.97 1. Разбор задач контрольной работы #2: а. $\int \sqrt{1-x^2}$, рациональная параметризация кривых второго порядка, подстановки Эйлера. б. $\lim (1/{n+1}+1/{+2}+...+1/{2n})$ в. $\lim \root{n}\of{n!\over n^n}$ 2. Взять интеграл $\int {dx\over (x-2)\sqrt{x^2+4x+3}}$ 3. Доказать оценку погрешности в формуле прямоугольников $\left|\int\limits_a^b f(x)dx-\int\limits_a^b g_n(x)dx\right|\le M_1{(b-a)^2\over{2n}}$ Домашнее задание В задачах 1-2 рекомендуется использовать подстановку, которая получается из рациональной параметризации кривой второго порядка, заданной уравнением y^2=f(x), где f(x) -- выражение под знаком корня. Задачи 3 и 4 можно решить с использованием формулы Лагранжа о промежуточном значении. Задачу 5 -- сведением к определению интеграла как предела интегральных сумм. 1. $\int {dx\over 1+\sqrt{1-2x-x^2}}$ 2. $\int {dx\over x+\sqrt{x^2-x+1}}$ 3. Доказать оценку погрешности в формуле трапеций $\left|\int\limits_a^b f(x)dx-\int\limits_a^b h_n(x)dx\right|\le M_2{(b-a)^3\over{12n^2}}$, 4. Вывести формулу Симпсона и оценить ее погрешность. (Функция заменяется на каждом из отрезков разбиения параболой, проходящей через точки графика, расположенными над концами отрезка и его серединой.) 5. Найти предел $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n-1} {1\over\sqrt{n^2-k^2}}$ 6. Доказать формулу Стирлинга $$n! \sim \sqrt{2\pi n}(n/e)^n.$$