Математический анализ
Семинары для студентов 1 курса МК НМУ
С.В.Дужин, С.В.Чмутов
4.11.97

1. Разбор задач контрольной работы #2:
   а. $\int \sqrt{1-x^2}$, рациональная параметризация
кривых второго порядка, подстановки Эйлера.
   б. $\lim (1/{n+1}+1/{+2}+...+1/{2n})$
   в. $\lim \root{n}\of{n!\over n^n}$
2. Взять интеграл
   $\int {dx\over (x-2)\sqrt{x^2+4x+3}}$
3. Доказать оценку погрешности в формуле прямоугольников
   $\left|\int\limits_a^b f(x)dx-\int\limits_a^b g_n(x)dx\right|\le 
   M_1{(b-a)^2\over{2n}}$


Домашнее задание

В задачах 1-2 рекомендуется использовать подстановку, которая
получается из рациональной параметризации кривой второго порядка,
заданной уравнением y^2=f(x), где f(x) -- выражение под знаком
корня.
Задачи 3 и 4 можно решить с использованием формулы Лагранжа о промежуточном 
значении.
Задачу 5 -- сведением к определению интеграла как предела интегральных сумм.

1. $\int {dx\over 1+\sqrt{1-2x-x^2}}$

2. $\int {dx\over x+\sqrt{x^2-x+1}}$

3. Доказать оценку погрешности в формуле трапеций
$\left|\int\limits_a^b f(x)dx-\int\limits_a^b h_n(x)dx\right|\le 
M_2{(b-a)^3\over{12n^2}}$,

4. Вывести формулу Симпсона и оценить ее погрешность. (Функция заменяется
на каждом из отрезков разбиения параболой, проходящей через точки графика,
расположенными над концами отрезка и его серединой.)

5. Найти предел
$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n-1} {1\over\sqrt{n^2-k^2}}$

6. Доказать формулу Стирлинга
$$n! \sim \sqrt{2\pi n}(n/e)^n.$$