Математический анализ
Семинары для студентов 1 курса МК НМУ
С.В.Дужин, С.В.Чмутов
11.11.97

Разбор задач на интегрирование квадратичных иррациональностей 
при помощи рациональной параметризации кривых второго порядка.

Домашнее задание

1. Построить кривую
x=(t+2)^2/(t+1); y=(t-2)^2/(t-1).
 
2. Построить кривую
x=(2t-1)/(t^3(t-1)); y=(2t-1)/(t^2(t-1)).

3. Придумайте пару рациональных функций x=f(t), y=g(t),
задающие на плоскости ограниченную кривую без самопересечений и точек 
перегиба, все особые точки которой являются полукубическими точками 
возврата, а их число равно а) 1, б) 2, в) 3, г) 4.

4. Всякая ли рационально параметризованная кривая на плоскости 
удовлетворяет полиномиальному уравнению от двух переменных?
Точнее, пусть f(t) и g(t) -- две рациональные функции.
Правда ли, что найдется многочлен от двух переменных
P(x,y), не равный тождественно нулю, такой что P(f(t),g(t))
тождественно равно нулю?

В задачах 1 и 2 требуется найти особые точки, ветви кривой, определить
их тип, найти число и примерное расположение точек перегиба и нарисовать
эскиз кривой.