Математический анализ Семинары для студентов 1 курса МК НМУ С.В.Дужин, С.В.Чмутов 11.11.97 Разбор задач на интегрирование квадратичных иррациональностей при помощи рациональной параметризации кривых второго порядка. Домашнее задание 1. Построить кривую x=(t+2)^2/(t+1); y=(t-2)^2/(t-1). 2. Построить кривую x=(2t-1)/(t^3(t-1)); y=(2t-1)/(t^2(t-1)). 3. Придумайте пару рациональных функций x=f(t), y=g(t), задающие на плоскости ограниченную кривую без самопересечений и точек перегиба, все особые точки которой являются полукубическими точками возврата, а их число равно а) 1, б) 2, в) 3, г) 4. 4. Всякая ли рационально параметризованная кривая на плоскости удовлетворяет полиномиальному уравнению от двух переменных? Точнее, пусть f(t) и g(t) -- две рациональные функции. Правда ли, что найдется многочлен от двух переменных P(x,y), не равный тождественно нулю, такой что P(f(t),g(t)) тождественно равно нулю? В задачах 1 и 2 требуется найти особые точки, ветви кривой, определить их тип, найти число и примерное расположение точек перегиба и нарисовать эскиз кривой.