% LaTeX2e, UNIX, koi8
% exam 27.11.97
%
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{cyrsam}
\usepackage{russiankoi}
\usepackage{amsfonts}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\topmargin}{-25mm}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\def\Q{{\mathbb Q}} % es gibt auch: mathfrak, mathbf
\def\R{{\mathbb R}}
\def\e{\varepsilon}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\sgn{\mathop{\rm sgn}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\dspl{\displaystyle}

\begin{center}
{\scriptsize\sf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ}\\
\hrulefill\\
\medskip
{\large Экзамен по математическому анализу, 1 курс, осень 1997}\\
\medskip
{\it С. М. Натанзон, С. В. Дужин, С. В. Чмутов}
\end{center}
\bigskip

\begin{enumerate}
\item %1
   Сформулировать и доказать интегральный признак Коши сходимости рядов.
\item %2
   Оценить точность приближения определенного интеграла по формуле 
{\it срединных прямоугольников\/}. Точнее говоря, пусть функция $f(x)$
дважды непрерывно дифференцируема на отрезке $[a,b]$ длины $c=b-a$
и $M$ --- максимум модуля $f''(x)$ на этом отрезке. Разобъем отрезок на 
$n$ равных частей и обозначим $x_i$ середину $i$-й части.
Доказать, что
$$
\left|\int_a^b f(x)\,dx - \sum_{i=1}^n f(x_i){c\over n}\right| 
\le {Mc^3\over 24n^2}\,.
$$

\item %3
   Сосчитать предел
$$\lim_{n\to\infty}\left({\root{3}\of{1}+\root{3}\of{2}
+\dots+\root{3}\of{n}\over n^{4/3}}\right).
$$

\item %4
   Найти предел и скорость стремления к пределу последовательности $x_n$,
определенной правилами $x_0=5$, $x_{n+1}=x_n-\sin^4{x_n}$. Точнее говоря,
найти такие константы $a$, $b$, $c$, что $c<0$ и $x_n-a \sim bn^c$ при 
$n\to\infty$.

\item %5
   Найти неопределенный интеграл
   $$\int {dx \over 1+\sqrt{-1+3x-x^2}}.$$

\item %6
   Вычислить определенный интеграл
$$\int_0^{\pi/2} {1 +\cos x \over (5+3\cos x)^2}\,dx.$$

\item %7
   Построить кривую $x=2t-4t^3$, $y=t^2-3t^4$. Указать число и тип особых 
точек, ветвей, определить асимптоты и точки перегиба.

\item %8
   Подобрать константы $a$, $b$, $c$, $d$ таким образом, чтобы выражение
$${ax+bx^2 \over 1+cx+dx^2}$$ как можно лучше приближало функцию $\sin x$
в окрестности нуля.

\end{enumerate}
\vfill
\rightline{\scriptsize typeset by S.~V.~Duzhin, {\tt duzhin@botik.ru}}
\end{document}