% LaTeX2e (UNIX, needs to be adapted for EMTeX)
% reexamination 14.02.98
%
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{cyrsam}
\usepackage{russiankoi}
\usepackage{amsfonts}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\topmargin}{-25mm}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\def\R{{\mathbb R}}

\begin{center}
{\scriptsize\sf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ}\\
\hrulefill\\
\medskip
{\large Экзамен по математическому анализу, 1 курс, осень 1997}\\
\smallskip
{\small (пересдача 14.02.98)}\\
\bigskip
{\it С. М. Натанзон, С. В. Дужин, С. В. Чмутов}
\end{center}
\bigskip

\begin{enumerate}
\item %1
   Сосчитать предел
$$
\lim_{n\to\infty}\left({\sin{\pi\over n}+\sin{2\pi\over n}
+\dots+\sin{(n-1)\pi\over n}\over n}\right).
$$

\item %2
Пусть $f\in C^\infty(\R)$ и $f(x_1)=\dots=f(x_n)=0$.
Доказать, что для каждого значения $x\in\R$ существует точка $\xi_x\in\R$ 
такая, что
$$
  f(x) = {(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\over n!}f^{(n)}(\xi_x).
$$

\item %3
Найти неопределенный интеграл
$$
  \int {dx \over (x^2+1)\sqrt{1-x^2}}\,.
$$

\item %4
Вычислить определенный интеграл
$$
  \int_{-\pi/2}^{\pi/2} {3 \over (5-4\cos x)}\,dx.$$

\item %5
Исследовать на сходимость ряд
$$
  \left({1\over2}\right)^p + \left({1\cdot3\over2\cdot4}\right)^p 
  + \left({1\cdot3\cdot5\over2\cdot4\cdot6}\right)^p + \dots
$$ 
в зависимости от значания параметра $p$.

\item %6
Нарисовать кривую
$$
  x = {6t\over t^3+1}\,,\quad y = {6t^2\over t^3+1}\,.
$$
Указать ее ветви, асимптоты, особые точки.
\end{enumerate}
\vfill
\rightline{\scriptsize typeset by S.~V.~Duzhin, {\tt duzhin@botik.ru}}
\end{document}
