% LaTeX2e (UNIX, needs to be adapted for EMTeX)
% reexamination 15.03.98
%
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{cyrsam}
\usepackage{russiankoi}
\usepackage{amsfonts}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\topmargin}{-25mm}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}

\begin{center}
{\scriptsize\sf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ}\\
\hrulefill\\
\medskip
{\large Экзамен по математическому анализу, 1 курс, осень 1997}\\
\smallskip
{\small (пересдача 15.03.98)}\\
\bigskip
{\it С. М. Натанзон, С. В. Дужин, С. В. Чмутов}
\end{center}
\bigskip

\begin{enumerate}
\item %1
   Сосчитать предел
$$
\lim_{n\to\infty}\left( \ln(n) -
{\ln(n-1+e)+\ln(n-2+2e)+\dots+\ln(1+(n-1)e)\over n}\right).
$$

\item %2
Функция $h(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению
$$x(1-x)h''(x) + (1-4x)h'(x) - 2h(x) = 0$$
и начальным условиям $h(0)=1$, $h'(0)=2$.
Найти разложение $h(x)$ в ряд Тейлора в нуле.

\item %3
Найти неопределенный интеграл
$$
  \int {dx \over -3+5\tg x}\,.
$$

\item %4
Вычислить определенный интеграл
$$
  \int_0^1 {xdx \over \sqrt{x^2+x+2}}\,.$$

\item %5
Исследовать на сходимость ряд 
$$
\sum_{n=1}^\infty {n!n^{-p} \over q(q+1)\dots(q+n)}
$$ 
в зависимости от значаний параметров $p$ и $q>0$.

\item %6
Нарисовать кривую
$$
  x = 2t^3-3t^2\,,\quad y = 12t^5-45t^4+40t^3\,.
$$
Указать ее ветви, асимптоты, точки перегиба, особые точки.
\end{enumerate}
\vfill
\rightline{\scriptsize typeset by S.\,V.\,Chmutov, {\tt chmutov@botik.ru}}
\end{document}
