% LaTeX2e, UNIX, koi8
%
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{cyrsam}
\usepackage{russiankoi}
\usepackage{amsfonts}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\topmargin}{-25mm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\def\Q{{\mathbb Q}} % es gibt auch: mathfrak, mathbf
\def\R{{\mathbb R}}
\def\e{\varepsilon}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\dspl{\displaystyle}
%\pagestyle{empty}

\centerline{Математический анализ}
\centerline{Семинары для студентов 1 курса МК НМУ}
\centerline{С.В.Дужин, С.В.Чмутов}
\centerline{18.11.97}

\begin{enumerate}
\item %1
Пусть $f\in C^\infty(\R)$; $x_1,\dots,x_n\in\R$ и $L$ --- полином Лагранжа:
$$L(x)=\sum_{i=1}^n 
 {(x-x_1)\cdot\dots\cdot\widehat{(x-x_i)}\cdot\dots\cdot(x-x_n)  \over
  (x_i-x_1)\cdot\dots\cdot\widehat{(x_i-x_i)}\cdot\dots\cdot(x_i-x_n)}
f(x_i)\ .$$
Доказать, что для каждого $x$ существует
$\xi\in\mbox{conv}\{x,x_1,\dots,x_n\}$ такая, что
$$f(x)-L(x)={(x-x_1)\cdot\dots\cdot(x-x_n) \over n!}f^{(n)}(\xi)\ .$$

\item %2
\newlength{\theo}
\settowidth{\theo}{где: }
Вывести из предудущей задачи следующую оценку погрешности формулы трапеций:
$$\left|\int_a^b f(x)dx - 
 {h\left[f(x_0)+2f(x_1)+\dots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right] \over 2}\right| \leq
{M_2\over 12}(b-a)h^2\ ,$$
\begin{list}
{}{\topsep=0pt \parsep=5pt \itemsep=0pt \leftmargin=\theo \listparindent=0pt
   \labelsep=0pt \labelwidth=\theo}
\item[где: ] $h=(b-a)/n$;

$x_k=a+hk$ для $k=0,1,\dots,n$;

$\displaystyle M_2=\sup_{\xi\in[a,b]} f^{(2)}(\xi)$.
\end{list}

\item %3
Напоминание рядов Тейлора основных элементарных функций:
$$\begin{array}{lcl}
e^x&=&1+x+{1\over 2!}x^2+\dots+{1\over n!}x^n+\dots\ ;\vspace{8pt}\\
\sin(x)&=&x-{1\over 3!}x^3+{1\over 5!}x^5-\dots+{(-1)^n\over(2n+1)!}x^{2n+1}
          +\dots\ ; \vspace{8pt}\\
\cos(x)&=&1-{1\over 2!}x^2+{1\over 4!}x^4-\dots+{(-1)^n\over(2n)!}x^{2n}
          +\dots\ ; \vspace{8pt}\\
\ln(1+x)&=&x-{1\over 2}x^2+{1\over 3}x^3-\dots+{(-1)^{n-1}\over n}x^n
          +\dots\ ; \vspace{8pt}\\
(1+x)^\alpha&=&1+\alpha x+{\alpha(\alpha-1)\over 2!}x^2+\dots
          +{\alpha(\alpha-1)\cdot\dots\cdot(\alpha-n+1)\over n!}x^n+\dots\ .
\end{array}$$

\item %4
Получить разложение $\arctg(x)$ в ряд Тейлора:\vspace{8pt}\\
$\arctg(x)=x-{1\over 3}x^3+{1\over 5}x^5-\dots+{(-1)^n\over 2n+1}x^{2n+1}
          +\dots\ .$

\item %5
Разложить в ряд Тейлора следующие функции:

\begin{tabular}{ll}
а)&$1/\cos(x)$;\\
б)&$e^{\sin(x)}$;\\
в)&$\sqrt{\cos(x)}$;\\
г)&$\arcsin(x)$;\\
д)&$\sin(\tg(x))-\tg(\sin(x))$.
\end{tabular}

\item %6
С помощью дифференциального уравнения $(\tg(x))'=(\tg(x))^2+1$
получить рекуррентную формулу для коэффициентов Тейлора функции $\tg(x)$.

\item %7
Функция $h(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению
$$x(1-x)h''(x)+(1-2x)h'(x)-(1/4)h(x)=0$$
и начальным условиям $h(0)=1$, $h'(0)=1/4$. Найти разложение $h(x)$
в ряд Тейлора.


\end{enumerate}
\end{document}