% LaTeX2e, UNIX, koi8
%
\documentclass{article}
\usepackage{cyrsam}
\usepackage{russiankoi}
\usepackage{amsfonts}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\begin{document}
\def\Q{{\mathbb Q}} % es gibt auch: mathfrak, mathbf
\def\R{{\mathbb R}}
\def\e{\varepsilon}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\sgn{\mathop{\rm sgn}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\dspl{\displaystyle}

\begin{center}
{\scriptsize\sf ����������� ���������� �����������}\\
\hrulefill\\
\medskip
{\large ������ �� ��������������� �������, 1 ����, ����� 1997}\\
\medskip
{\it �. �. �����} (\verb#duzhin@botik.ru#), {\it �. �. ������} (\verb#chmutov@botik.ru#)
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf ����������� ������ No. 1, 16 �������� 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item %1
{\it $\Q$-��������} ���������� ����������� ������� � ����������
������������ ����� $\Q$. ����� ��, ��� ����� ��������� ���������
$\Q$-�������� ����� �������� �����������?

\item %2
���������� �������-����������� ������������ ����� ������� 
������������� $[0,1)$ � ������� $[0,1]$.

\item %3
����� ������ ������� $\displaystyle \lim_{x\to+0} x^x$.

\item %4
������� $f(x)$ ������ ��������
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
                  e^{-1/x^2}, & x>0 \\
                                  0, & x\leq 0\ .
              \end{array}\right.$$
����� ��, ��� �� ����� ����������� $f^{(100)}(x)$ ���������� � ����� 0?

\item %5
������������������ $x_n$ ���������� ��������
$$ x_1=\sin 1, \quad x_n=\sin x_{n-1} \quad\mbox{���\ } n>1\ .$$
����� $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt{n} x_n$.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf �������� ������� No. 1, 16 �������� 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1
   ���������� �������-����������� ������������ ����� �����������
   ���� �������������� � ���� ������������ �����.
\item %2
   ����� $D$ --- ����������� ������������ ��������� $E$, ������
   ���������� $E\setminus D$ �� ����� ��� ������.
   ���������� �������-����������� ������������ ����� $E$ � $D$.
\item %3
���������� �� ����������� �����������
   \begin{enumerate}
   \item ��������� $(0,1)$,
   \item ������� $[0,1]$,
   \item ������������� $[0,1)$
   \end{enumerate}
�� ��� ������������ ������ $\R$?
\item %4
   ��������, ��� ����� ����������� ������������ ������� �� ����������
   ��������� ���������� �������� � �����-�� ���� ������������ ���������������
   �����.
\item %5
   ���������� �������:
   \begin{enumerate}
   \item $\dspl{\lim_{x\to\pm\infty}(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2})}$,
   \item $\dspl{\lim_{x\to+\infty}x^{1/x}}$,
   \item $\dspl{\lim_{x\to0}{\log_a(1+x)\over x}}$,
   \item $\dspl{\lim_{x\to0}{\cos{x}-\ch{x}\over x}}$,
   \item $\dspl{\lim_{x\to0}{a^x+a^{-x}-2\over x^2}}$,
   \item $\dspl{\lim_{x\to0}{\sin\tg{x}-\tg\sin{x}\over
                \arcsin\arctg{x}-\arctg\arcsin{x}}}$.
   \end{enumerate}
\item %6
   ������������������ $x_n$  ������� �� ��������������� ����� �
   ��� ����� $m$ � $n$ ��������� ����������� $x_{m+n}\le x_m+x_n$.
   ��������, ��� ������������������ $x_n/n$ ����� ������.
\item %7
   ��������� ������, �������� ����������
   $\dspl{\lim_{n\to\infty}(x^{2n}+y^{2n})=1}$.
\item %8
   ����� $A$, $B$, $C$ --- ����� �� ������� ������� $y=\cos{x}$
   � ���������� $x=-\e,0,\e$. ��������� ����� $M(\e)$ ����� ����������,
   ���������� ����� ��� �����. ������� $\dspl{\lim_{\e\to0}M_\e}$.
\item %9
   ������������������ $A_n$ ����� ��������� �������� �� ������ �������.
   ����� $A_0$ ��������� � ������� ��������� $(0,0)$.
   ����� $A_1$ ����� ���������� $(1,0)$.
   ��� ������ $n>1$ ������ $\overline{A_nA_{n+1}}$ ���������� �� �������
   $\overline{A_{n-1}A_n}$ ��������� �� $90^\circ$ ������ ������� ������� �
   ���������� ����� �� $\pi/n$. ����� $\dspl{\lim_{n\to\infty}A_n}$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}                                                  
\begin{center}
{\bf �������� ������� No. 2, 23 �������� 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1 
   �������� ������� �������� ��� �������������������: ���� 
   $x_n$, $y_n$ $\to 0$ � ���������� ������ $(y_n-y_{n+1})/(x_n-x_{n+1})$,
   ������ $a$, �� ���������� � ������ $y_n/x_n$, ���� ������ $a$.
   [� ������������ ������� ������, ��. ��������� �������.]
\item %2
   ������������������ $x_n$ �������� �� �������:
   $x_1=1$, $x_{n+1}=x_n-ax_n^k$, ��� $a>0$ --- ������������ �����, � 
   $k>1$ --- �����.
   ����� ����������� ���� ������������������. ����� �����, ��������,
   ��� ��� $n$, ����������� � �������������, $x_n$ ������������ 
   ������������������ ���� $cn^{\alpha}$ � �������� ���������
   $c$ � $\alpha$ ����� $c$ � $k$.
\item %3
   ��������, ��� ������������������ $1+1/2+1/3+\dots+1/n - \ln(n)$ �����
   ������.
\item %4
   �� ���� ����� ������ ������ �������� ����� 1, �� ������� ������
   ��������� ����� ���� ������ ������������ �����������, �� ���, 
   ����� ��� ������ ���������. �� ����� ���������� ����������
   ����� ��������� �� ����������� �� ���� ����� ����� ������� ������?
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}                                                  
\begin{center}                         
{\bf �������� ������� No. 3, 30 �������� 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1 
��������� ����������� � ������������� ������� ��������, �.�.
����� ��� ���������� ����� ������������������ $x_n$, $y_n$, ���
������������������ $(y_n - y_{n+1})/(x_n-x_{n+1})$ ����� ������, � 
������������������ $y_n/x_n$ ����������.
\item %2
�������������� � �������� ������� �������� ��� ���������� �������
�������������������.
\item %3 
{\it ������ �� ������.}\\
   ������ ���� ���, �� ������� ����������� � ������ ��������� ���:\\
   {\bf a.} ����������� $f:\R\to\R$ �������� ����� ���������: 
����� ������ ������� �������� ��������. ����� ��, ��� $f$ ����������?\\
   {\bf b.} ������� �� �������� ��������-������������ �������������
������ ������� ����� � ������ ������������� ������ ���������.
\item %4
����������� �� ����������� ���������� (�.�. ����������,
�� ����� �������� ��� $x$ ��� ����� �����) ��������� ������������������:\\
  {\bf a.} $f_n(x) = x^n$,\\
  {\bf b.} $f_n(x) = x/(1+nx^2)$,\\
  {\bf c.} $f_n(x) = nx/(1+n^2x^2)$.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}                                                  
\begin{center}                         
{\bf �������� ������� No. 4, 7 ������� 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1
����������� �� ����������� ���������� (�.�. ����������,
�� ����� �������� ��� $x$ ��� ����� �����) ��������� ������������������: \\
  {\bf a.} $f_n(x) = \sin(n^2 x)/x$,\\
  {\bf b.} $f_n(x) = 1/(1+x^{2n})$,\\
  {\bf c.} $f_n(x) = n^2 x e^{-nx}$.
\item %2
������� $f(x)$ ��������������� �� ���� �������� ������, ������ $f'(a)>0$.
   �������� �� ������, ��� ������� $f(x)$ ��������� ���������� � ���������
   ����������� ����� $a$?
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}                                                  
\begin{center}
{\bf �������� ������ No. 5, 14 ������� 1997}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item %1
����� $f\in C^\infty(\R)$ � 
$f(x_0)=f(x_1)=\dots=f(x_n)$ ��� ��������� ����� 
$x_0<x_1<\dots<x_n$.
��������, ��� $f^{(n)}(\xi)=0$ ��� ��������� ����� $\xi\in(x_0,x_n)$.
\item %2
��������, ��� ���� ��� ����� ���������� $P$ ������� $n$ �����������, ��
� ��� ����� ���������� $P'$ ���� �����������.
\item %3
��������, ��� � {\it ���������� ��������}
$$P_n(x)={1\over 2^nn!}{d^n\over dx^n}\left( (x^2-1)^n \right)$$
��� ����� ����������� � ����������� ��������� $(-1,1)$. 
\item %4
����� ������ � ��������� �������������� ������������� ����������� $f'(x)$.
\begin{quote}{\it
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} {f(x)-f(x_0)\over x-x_0}$.
�� ������� �������� �������� ����� ����� $\xi$ ����� $x$ � $x_0$, ���
$\displaystyle {f(x)-f(x_0)\over x-x_0} = f'(\xi)$. �������������,
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} f'(\xi)=\lim_{\xi\to x_0} f'(\xi)$,
��� �������� ������������� $f'(x)$ � ����� $x_0$.}
\end{quote}
\item %5
�������� ���������
$$2\arctg(x)+\arcsin({2x\over 1+x^2})=\pi\sgn(x)$$
��� $|x|\geq 1$.
\item %6
����� ��� ������� ��������� $y'=y$.
\item %7
����� $(f\circ g)'$, $(f\circ g)^{(2)}$,  $(f\circ g)^{(3)}$, 
$(f\circ g)^{(4)}$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}                                                  
\begin{center}
{\bf �������� ������� No. 5, 14 ������� 1997}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item %1
\newlength{\theo}
\settowidth{\theo}{���: }
������� ��� $n$-� ����������� ���������� ������� $f$ � $g$ ����� ���
$$(f\circ g)^{(n)} = \sum_{D\in A_n} \lambda_D f^{(r(D))}\cdot
\prod_{i=1}^{r(D)} g^{(l_i(D))}\ ,$$
\begin{list} 
{}{\topsep=0pt \parsep=0pt \itemsep=0pt \leftmargin=\theo \listparindent=0pt
   \labelsep=0pt \labelwidth=\theo}
\item[���: ] $A_n$ --- ��������� �������� ���� �� $n$ ��������;

$r(D)$ --- ����� ����� ��������� $D$;

$l_i(D)$ --- ����� $i$-� ������ ��������� $D$.
\end{list}
����� ������� ��� ������������ $\lambda_D$ ��� ������� �� ��������� 
�������� ����.

\item %2
��������, ��� �������� ������ $y=f(x)$ �������� ��������
$$k={|f''|\over (1+f'^2)^{3/2}}.$$

\item %3
����� $f\in C^\infty(\R)$ � ��� ������ ����� $x$ ���������� �����
����������� ����� $n_x$, ��� $f^{(n_x)}=0$. ��������, ��� $f$ --- �������.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf ������� No. 6, 21 ������� 1997}
\end{center}

����� ���������:
\begin{enumerate}
\item %1. 
   $\dspl{\int {x^2+1 \over x^4+1}\,dx}$,
\item %2. 
   $\dspl\int ({\ln x \over x})^2\,dx$,
\item %3. 
   $\dspl\int {x^2+1 \over (x+1)^2(x-1)}\,dx$,
\item %4. 
   $\dspl\int {1 \over (x+1)(x^2+1)}\,dx$,
\item %5. 
   $\dspl\int {sin x cos x \over sin x + cos x}\,dx$,
\item %6. 
   ��� ����� $a$, $b$, $c$  $$\int {ax^2+bx+c \over x^3(x-1)^2}\,dx$$
�������� ������������ ��������?
\item %7. 
��������, ���
   $\int x f''(x) dx = xf'-x$.
\item %8. 
����� ������� $f(x)$ �� �������, ���
   $f'(x^2) = 1/x$ ��� $x>0$.
\item %9. 
����� ������� $f(x)$ �� �������, ���
   $f'(sin^2{x}) = cos^2{x}$ ��� $x>0$.
\item %10. 
������� $f(x)$ ��������� � ����������, $F(x)$ --- �� �������������,
$f^{-1}(x)$ --- �������� �������. ��������, ���
$$\int f^{-1}(x)dx = xf^{-1}(x) - F(f^{-1}(x)) + C.$$

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf ����������� ������ No. 2, 28 ������� 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1
  ����� �������������� ���������:
  \begin{enumerate}
  \item %a
  $$\int{dx\over x^3+1}.$$
  \item %b
  $$\int \sqrt{1-x^2}\,dx.$$
  \item %c
  $$\int {dx\over\cos x}.$$
  \item %d
  $$\int \sqrt{1-e^{-2x}}\,dx.$$
  \item %e
  $$\int e^{\arcsin x}\,dx.$$
  \end{enumerate}
\item %2
  ��������� ������������ ���������:
  \begin{enumerate}
  \item %a
  $$\int_0^{\pi/2}{dx\over 3+\cos x}\,dx.$$
  \item %b
  $$\int_{-1}^1 x^3e^{-x^4}\cos2x\,dx.$$
  \item %c
  $$\int_{1/2}^{2}{1\over x}\sin\bigl(x-{1\over x}\bigr)\,dx.$$
  \end{enumerate}
\item %3
  ����� �������:
  \begin{enumerate}
  \item %a
  $$\lim_{n\to\infty}\bigl({1\over n+1}+{1\over n+2}+\dots+{1\over 2n}\bigr).$$
  \item %b
  $$\lim_{n\to\infty}\root{n}\of{n!/n^n}.$$
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
      
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf ������� No. 8, 4 ������ 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1
������ ����� ����������� ������ No. 2:
\begin{enumerate}
\item 
$\int \sqrt{1-x^2}$, ������������ ��������������
������ ������� �������, ����������� ������.
\item
$\dspl\lim({1\over n+1}+{1\over n+2}+...+{1\over2n})$.
\item
$\lim \root{n}\of{n!/n^n}$.
\end{enumerate}

\item %2
����� ��������
   $\dspl\int {dx\over (x-2)\sqrt{x^24x+3}}$.

\item %3
�������� ������ ����������� � ������� ���������������
$$\left|\int\limits_a^b f(x)\,dx
-\sum\limits_{i=1}^n f(a+{b-a\over n}i){b-a\over n}\right|\le 
   M_1{(b-a)^2\over{2n}},$$ 
��� $M_1$ --- �������� ������ $f'(x)$ �� ������ �������.
\end{enumerate}
\bigskip

\centerline{�������� �������}
\medskip

� ������� 1--2 ������������� ������������ �����������, �������
���������� �� ������������ �������������� ������ ������� �������,
�������� ���������� $y^2=f(x)$, ��� $f(x)$ --- ��������� ��� ������
�����.
������ 3 � 4 ����� ������ � �������������� ������� �������� � ������������� 
��������.
������ 5 --- ��������� � ����������� ��������� ��� ������� ������������ ����.
\begin{enumerate}
\item
$\dspl\int {dx\over 1+\sqrt{1-2x-x^2}}$.

\item
$\dspl\int {dx\over x+\sqrt{x^2-x+1}}$.

\item
�������� ������ ����������� � ������� ��������:
$$\left|\int\limits_a^b f(x)dx-\int\limits_a^b h_n(x)dx\right|\le 
M_2{(b-a)^3\over{12n^2}},$$ 
��� $M_2$ --- �������� ������ $f''(x)$ �� ������ �������.

\item
������� ������� �������� � ������� �� �����������. (������� ����������
�� ������ �� �������� ��������� ���������, ���������� ����� ����� �������,
�������������� ��� ������� ������� � ��� ���������.)

\item
����� ������
$\dspl\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n-1} {1\over\sqrt{n^2-k^2}}$

\item
�������� ������� ���������
$$n! \sim \sqrt{2\pi n}(n/e)^n.$$
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf ������� No. 9, 11 ������ 1997}
\end{center}

������ ����� �� �������������� ������������ ����������������� 
��� ������ ������������ �������������� ������ ������� �������.
\bigskip

\centerline{�������� �������}

\begin{enumerate}
\item
��������� ������
$x=(t+2)^2/(t+1)$, $y=(t-2)^2/(t-1)$.
 
\item
��������� ������
$x=(2t-1)/(t^3(t-1))$, $y=(2t-1)/(t^2(t-1))$.

\item
���������� ���� ������������ ������� $x=f(t)$, $y=g(t)$,
�������� �� ��������� ������������ ������ ��� ��������������� � ����� 
��������, ��� ������ ����� ������� �������� ��������������� ������� 
��������, � �� ����� ����� �) 1, �) 2, �) 3, �) 4.

\item
������ �� ����������� ����������������� ������ �� ��������� 
������������� ��������������� ��������� �� ���� ����������?
������, ����� $f(t)$ � $g(t)$ --- ��� ������������ �������.
������ ��, ��� �������� ��������� �� ���� ����������
$P(x,y)$, �� ������ ������������ ����, ����� ��� $P(f(t),g(t))$
������������ ����� ����?
\end{enumerate}

� ������� 1 � 2 ��������� ����� ������ �����, ����� ������, ����������
�� ���, ����� ����� � ��������� ������������ ����� �������� � ����������
����� ������.

\vfill\eject
\begin{center}
{\bf ������� No. 10, 18 ������ 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1
����� $f\in C^\infty(\R)$; $x_1,\dots,x_n\in\R$ � $L$ --- ������� ��������:
$$L(x)=\sum_{i=1}^n 
 {(x-x_1)\cdot\dots\cdot\widehat{(x-x_i)}\cdot\dots\cdot(x-x_n)  \over
  (x_i-x_1)\cdot\dots\cdot\widehat{(x_i-x_i)}\cdot\dots\cdot(x_i-x_n)}
f(x_i)\ .$$
��������, ��� ��� ������� $x$ ����������
$\xi\in\mbox{conv}\{x,x_1,\dots,x_n\}$ �����, ���
$$f(x)-L(x)={(x-x_1)\cdot\dots\cdot(x-x_n) \over n!}f^{(n)}(\xi)\ .$$

\item %2
\newlength{\ttheo}
\settowidth{\ttheo}{���: }
������� �� ���������� ������ ��������� ������ ����������� ������� ��������:
$$\left|\int_a^b f(x)dx - 
 {h\left[f(x_0)+2f(x_1)+\dots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right] \over 2}\right| \leq
{M_2\over 12}(b-a)h^2\ ,$$
\begin{list}
{}{\topsep=0pt \parsep=5pt \itemsep=0pt \leftmargin=\ttheo \listparindent=0pt
   \labelsep=0pt \labelwidth=\ttheo}
\item[���: ] $h=(b-a)/n$;

$x_k=a+hk$ ��� $k=0,1,\dots,n$;

$\displaystyle M_2=\sup_{\xi\in[a,b]} |f^{(2)}(\xi)|$.
\end{list}

\item %3
����������� ����� ������� �������� ������������ �������:
$$\begin{array}{lcl}
e^x&=&1+x+{1\over 2!}x^2+\dots+{1\over n!}x^n+\dots\ ;\vspace{8pt}\\
\sin(x)&=&x-{1\over 3!}x^3+{1\over 5!}x^5-\dots+{(-1)^n\over(2n+1)!}x^{2n+1}
          +\dots\ ; \vspace{8pt}\\
\cos(x)&=&1-{1\over 2!}x^2+{1\over 4!}x^4-\dots+{(-1)^n\over(2n)!}x^{2n}
          +\dots\ ; \vspace{8pt}\\
\ln(1+x)&=&x-{1\over 2}x^2+{1\over 3}x^3-\dots+{(-1)^{n-1}\over n}x^n
          +\dots\ ; \vspace{8pt}\\
(1+x)^\alpha&=&1+\alpha x+{\alpha(\alpha-1)\over 2!}x^2+\dots
          +{\alpha(\alpha-1)\cdot\dots\cdot(\alpha-n+1)\over n!}x^n+\dots\ .
\end{array}$$

\item %4
�������� ���������� $\arctg(x)$ � ��� �������:\vspace{8pt}\\
$\arctg(x)=x-{1\over 3}x^3+{1\over 5}x^5-\dots+{(-1)^n\over 2n+1}x^{2n+1}
          +\dots\ .$

\item %5
��������� � ��� ������� ��������� �������:

\begin{tabular}{ll}
�)&$1/\cos(x)$;\\
�)&$e^{\sin(x)}$;\\
�)&$\sqrt{\cos(x)}$;\\
�)&$\arcsin(x)$;\\
�)&$\sin(\tg(x))-\tg(\sin(x))$.
\end{tabular}
(�� ���� ��������, ����� ����������, ����� �� ��� ��������� ����� ����������;
� ��������� ������� --- ����).

\item %6
� ������� ����������������� ��������� $(\tg(x))'=(\tg(x))^2+1$
�������� ������������ ������� ��� ������������� ������� ������� $\tg(x)$.

\item %7
������� $h(x)$ ������������� ����������������� ���������
$$x(1-x)h''(x)+(1-2x)h'(x)-(1/4)h(x)=0$$
� ��������� �������� $h(0)=1$, $h'(0)=1/4$. ����� ���������� $h(x)$
� ��� �������.

\end{enumerate}

\vfill\eject
\begin{center}
{\bf ������� No. 11, 25 ������ 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1
����������� �� ���������� ��������� ����:\\
\begin{tabular}{ll}
�)&$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1\over n^s}$\ ; \vspace{8pt}\\
�)&$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1\over n(\ln n)^p}$\ ;\vspace{8pt}\\
�)&$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1\over n\ln n(\ln\ln n)^p}$\ ;
     \vspace{8pt}\\
�)&$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \bigl(n^p-(n-1)^p-pn^{p-1}\bigr)$\ ;\vspace{8pt}\\
�)&$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n})$\ ;
     \vspace{8pt}\\
�)&$\displaystyle \left({1\over 2}\right)^p + 
                   \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^p +
                   \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^p +
                   \dots$\ ; \vspace{8pt}\\
�)&$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {n!e^n\over n^{n+p}}$\ .
\end{tabular}

\item %2
����� �� ������������������ $\varepsilon_n$ ���������� � ���� ���������
��������, ����� ���
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1\over n^{1+\varepsilon_n}}$
��������?

\end{enumerate}

\end{document}
