% LaTeX2e, UNIX, koi8
%
\documentclass{article}
\usepackage{cyrsam}
\usepackage{russiankoi}
\usepackage{amsfonts}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\begin{document}
\def\Q{{\mathbb Q}} % es gibt auch: mathfrak, mathbf
\def\R{{\mathbb R}}
\def\e{\varepsilon}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\sgn{\mathop{\rm sgn}\nolimits}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\dspl{\displaystyle}

\begin{center}
{\scriptsize\sf НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ}\\
\hrulefill\\
\medskip
{\large Задачи по математическому анализу, 1 курс, осень 1997}\\
\medskip
{\it С. В. Дужин} (\verb#duzhin@botik.ru#), {\it С. В. Чмутов} (\verb#chmutov@botik.ru#)
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf Контрольная работа No. 1, 16 сентября 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item %1
{\it $\Q$-отрезком} называется пересечение отрезка с множеством
рациональных чисел $\Q$. Верно ли, что любое семейство вложенных
$\Q$-отрезков имеет непустое пересечение?

\item %2
Установить взаимно-однозначное соответствие между точками 
полуинтервала $[0,1)$ и отрезка $[0,1]$.

\item %3
Найти предел функции $\displaystyle \lim_{x\to+0} x^x$.

\item %4
Функция $f(x)$ задана формулой
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
                  e^{-1/x^2}, & x>0 \\
                                  0, & x\leq 0\ .
              \end{array}\right.$$
Верно ли, что ее сотая производная $f^{(100)}(x)$ непрерывна в точке 0?

\item %5
Последовательность $x_n$ определена правилом
$$ x_1=\sin 1, \quad x_n=\sin x_{n-1} \quad\mbox{для\ } n>1\ .$$
Найти $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt{n} x_n$.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf Домашнее задание No. 1, 16 сентября 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1
   Установите взаимно-однозначное соответствие между множествами
   всех иррациональных и всех вещественных чисел.
\item %2
   Пусть $D$ --- бесконечное подмножество множества $E$, причем
   дополнение $E\setminus D$ не более чем счетно.
   Установите взаимно-однозначное соответствие между $E$ и $D$.
\item %3
Существует ли непрерывное отображение
   \begin{enumerate}
   \item интервала $(0,1)$,
   \item отрезка $[0,1]$,
   \item полуинтервала $[0,1)$
   \end{enumerate}
на всю вещественную прямую $\R$?
\item %4
   Докажите, что любая непрерывная вещественная функция на окружности
   принимает одинаковые значения в какой-то паре диаметрально противоположных
   точек.
\item %5
   Сосчитайте пределы:
   \begin{enumerate}
   \item $\dspl{\lim_{x\to\pm\infty}(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2})}$,
   \item $\dspl{\lim_{x\to+\infty}x^{1/x}}$,
   \item $\dspl{\lim_{x\to0}{\log_a(1+x)\over x}}$,
   \item $\dspl{\lim_{x\to0}{\cos{x}-\ch{x}\over x}}$,
   \item $\dspl{\lim_{x\to0}{a^x+a^{-x}-2\over x^2}}$,
   \item $\dspl{\lim_{x\to0}{\sin\tg{x}-\tg\sin{x}\over
                \arcsin\arctg{x}-\arctg\arcsin{x}}}$.
   \end{enumerate}
\item %6
   Последовательность $x_n$  состоит из неотрицательных чисел и
   для любых $m$ и $n$ выполнено неравенство $x_{m+n}\le x_m+x_n$.
   Докажите, что последовательность $x_n/n$ имеет предел.
\item %7
   Нарисуйте кривую, заданную уравнением
   $\dspl{\lim_{n\to\infty}(x^{2n}+y^{2n})=1}$.
\item %8
   Пусть $A$, $B$, $C$ --- точки на графике функции $y=\cos{x}$
   с абсциссами $x=-\e,0,\e$. Обозначим через $M(\e)$ центр окружности,
   проходящей через эти точки. Найдите $\dspl{\lim_{\e\to0}M_\e}$.
\item %9
   Последовательность $A_n$ точек плоскости строится по такому правилу.
   Точка $A_0$ совпадает с началом координат $(0,0)$.
   Точка $A_1$ имеет координаты $(1,0)$.
   Для любого $n>1$ вектор $\overline{A_nA_{n+1}}$ получается из вектора
   $\overline{A_{n-1}A_n}$ поворотом на $90^\circ$ против часовой стрелки и
   умножением длины на $\pi/n$. Найти $\dspl{\lim_{n\to\infty}A_n}$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}                                                  
\begin{center}
{\bf Домашнее задание No. 2, 23 сентября 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1 
   Доказать правило Лопиталя для последовательностей: если 
   $x_n$, $y_n$ $\to 0$ и существует предел $(y_n-y_{n+1})/(x_n-x_{n+1})$,
   равный $a$, то существует и предел $y_n/x_n$, тоже равный $a$.
   [В формулировке имеется ошибка, см. следующее задание.]
\item %2
   Последовательность $x_n$ строится по правилу:
   $x_1=1$, $x_{n+1}=x_n-ax_n^k$, где $a>0$ --- вещественное число, а 
   $k>1$ --- целое.
   Найти асимптотику этой последовательности. Более точно, доказать,
   что при $n$, стремящемся к бесконечности, $x_n$ эквивалентно 
   последовательности вида $cn^{\alpha}$ и выразить константы
   $c$ и $\alpha$ через $c$ и $k$.
\item %3
   Доказать, что последовательность $1+1/2+1/3+\dots+1/n - \ln(n)$ имеет
   предел.
\item %4
   На край стола кладут стопку кирпичей длины 1, из которых каждый
   следующий может быть смещен относительно предыдущего, но так, 
   чтобы вся стопка держалась. На какое наибольшее расстояние
   может удалиться по горизонтали от края стола самый верхний кирпич?
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}                                                  
\begin{center}                         
{\bf Домашнее задание No. 3, 30 сентября 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1 
Придумать контрпример к немонотонному правилу Лопиталя, т.е.
такие две бесконечно малые последовательности $x_n$, $y_n$, что
последовательность $(y_n - y_{n+1})/(x_n-x_{n+1})$ имеет предел, а 
последовательность $y_n/x_n$ расходится.
\item %2
Сформулировать и доказать правило Лопиталя для бесконечно больших
последовательностей.
\item %3 
{\it Задачи из лекций.}\\
   Заданы были все, но реально обсуждались в классе следующие две:\\
   {\bf a.} Отображение $f:\R\to\R$ обладает таким свойством: 
образ любого отрезка является отрезком. Верно ли, что $f$ непрерывно?\\
   {\bf b.} Вывести из принципа Больцано-Вейерштрасса существование
точной верхней грани у любого ограниченного сверху множества.
\item %4
Исследовать на равномерную сходимость (т.е. определить,
на каких отрезках оси $x$ она имеет место) следующие последовательности:\\
  {\bf a.} $f_n(x) = x^n$,\\
  {\bf b.} $f_n(x) = x/(1+nx^2)$,\\
  {\bf c.} $f_n(x) = nx/(1+n^2x^2)$.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}                                                  
\begin{center}                         
{\bf Домашнее задание No. 4, 7 октября 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1
Исследовать на равномерную сходимость (т.е. определить,
на каких отрезках оси $x$ она имеет место) следующие последовательности: \\
  {\bf a.} $f_n(x) = \sin(n^2 x)/x$,\\
  {\bf b.} $f_n(x) = 1/(1+x^{2n})$,\\
  {\bf c.} $f_n(x) = n^2 x e^{-nx}$.
\item %2
Функция $f(x)$ дифференцируема на всей числовой прямой, причем $f'(a)>0$.
   Вытекает ли отсюда, что функция $f(x)$ монотонно возрастает в некоторой
   окрестности точки $a$?
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}                                                  
\begin{center}
{\bf Классная работа No. 5, 14 октября 1997}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item %1
Пусть $f\in C^\infty(\R)$ и 
$f(x_0)=f(x_1)=\dots=f(x_n)$ для некоторых точек 
$x_0<x_1<\dots<x_n$.
Доказать, что $f^{(n)}(\xi)=0$ для некоторой точки $\xi\in(x_0,x_n)$.
\item %2
Доказать, что если все корни многочлена $P$ степени $n$ вещественны, то
и все корни многочлена $P'$ тоже вещественны.
\item %3
Доказать, что у {\it многочлена Лежандра}
$$P_n(x)={1\over 2^nn!}{d^n\over dx^n}\left( (x^2-1)^n \right)$$
все корни вещественны и принадлежат интервалу $(-1,1)$. 
\item %4
Найти ошибку в следующем доказательстве непрерывности производной $f'(x)$.
\begin{quote}{\it
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} {f(x)-f(x_0)\over x-x_0}$.
По теореме Лагранжа найдется такая точка $\xi$ между $x$ и $x_0$, что
$\displaystyle {f(x)-f(x_0)\over x-x_0} = f'(\xi)$. Следовательно,
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} f'(\xi)=\lim_{\xi\to x_0} f'(\xi)$,
что означает непрерывность $f'(x)$ в точке $x_0$.}
\end{quote}
\item %5
Доказать тождество
$$2\arctg(x)+\arcsin({2x\over 1+x^2})=\pi\sgn(x)$$
при $|x|\geq 1$.
\item %6
Найти все решения уравнения $y'=y$.
\item %7
Найти $(f\circ g)'$, $(f\circ g)^{(2)}$,  $(f\circ g)^{(3)}$, 
$(f\circ g)^{(4)}$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}                                                  
\begin{center}
{\bf Домашнее задание No. 5, 14 октября 1997}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item %1
\newlength{\theo}
\settowidth{\theo}{где: }
Формула для $n$-й производной композиции функций $f$ и $g$ имеет вид
$$(f\circ g)^{(n)} = \sum_{D\in A_n} \lambda_D f^{(r(D))}\cdot
\prod_{i=1}^{r(D)} g^{(l_i(D))}\ ,$$
\begin{list} 
{}{\topsep=0pt \parsep=0pt \itemsep=0pt \leftmargin=\theo \listparindent=0pt
   \labelsep=0pt \labelwidth=\theo}
\item[где: ] $A_n$ --- множество диаграмм Юнга из $n$ клеточек;

$r(D)$ --- число строк диаграммы $D$;

$l_i(D)$ --- длина $i$-й строки диаграммы $D$.
\end{list}
Найти формулу для коэффициента $\lambda_D$ как функции на множестве 
диаграмм Юнга.

\item %2
Доказать, что кривизна кривой $y=f(x)$ задается формулой
$$k={|f''|\over (1+f'^2)^{3/2}}.$$

\item %3
Пусть $f\in C^\infty(\R)$ и для каждой точки $x$ существует такое
натуральное число $n_x$, что $f^{(n_x)}=0$. Доказать, что $f$ --- полином.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf Занятие No. 6, 21 октября 1997}
\end{center}

Найти интегралы:
\begin{enumerate}
\item %1. 
   $\dspl{\int {x^2+1 \over x^4+1}\,dx}$,
\item %2. 
   $\dspl\int ({\ln x \over x})^2\,dx$,
\item %3. 
   $\dspl\int {x^2+1 \over (x+1)^2(x-1)}\,dx$,
\item %4. 
   $\dspl\int {1 \over (x+1)(x^2+1)}\,dx$,
\item %5. 
   $\dspl\int {sin x cos x \over sin x + cos x}\,dx$,
\item %6. 
   При каких $a$, $b$, $c$  $$\int {ax^2+bx+c \over x^3(x-1)^2}\,dx$$
является рациональной функцией?
\item %7. 
Доказать, что
   $\int x f''(x) dx = xf'-x$.
\item %8. 
Найти функцию $f(x)$ из условия, что
   $f'(x^2) = 1/x$ при $x>0$.
\item %9. 
Найти функцию $f(x)$ из условия, что
   $f'(sin^2{x}) = cos^2{x}$ при $x>0$.
\item %10. 
Функция $f(x)$ монотонна и непрерывна, $F(x)$ --- ее первообразная,
$f^{-1}(x)$ --- обратная функция. Доказать, что
$$\int f^{-1}(x)dx = xf^{-1}(x) - F(f^{-1}(x)) + C.$$

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf Контрольная работа No. 2, 28 октября 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1
  Найти неопределенные интегралы:
  \begin{enumerate}
  \item %a
  $$\int{dx\over x^3+1}.$$
  \item %b
  $$\int \sqrt{1-x^2}\,dx.$$
  \item %c
  $$\int {dx\over\cos x}.$$
  \item %d
  $$\int \sqrt{1-e^{-2x}}\,dx.$$
  \item %e
  $$\int e^{\arcsin x}\,dx.$$
  \end{enumerate}
\item %2
  Вычислить определенные интегралы:
  \begin{enumerate}
  \item %a
  $$\int_0^{\pi/2}{dx\over 3+\cos x}\,dx.$$
  \item %b
  $$\int_{-1}^1 x^3e^{-x^4}\cos2x\,dx.$$
  \item %c
  $$\int_{1/2}^{2}{1\over x}\sin\bigl(x-{1\over x}\bigr)\,dx.$$
  \end{enumerate}
\item %3
  Найти пределы:
  \begin{enumerate}
  \item %a
  $$\lim_{n\to\infty}\bigl({1\over n+1}+{1\over n+2}+\dots+{1\over 2n}\bigr).$$
  \item %b
  $$\lim_{n\to\infty}\root{n}\of{n!/n^n}.$$
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
      
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf Занятие No. 8, 4 ноября 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1
Разбор задач контрольной работы No. 2:
\begin{enumerate}
\item 
$\int \sqrt{1-x^2}$, рациональная параметризация
кривых второго порядка, подстановки Эйлера.
\item
$\dspl\lim({1\over n+1}+{1\over n+2}+...+{1\over2n})$.
\item
$\lim \root{n}\of{n!/n^n}$.
\end{enumerate}

\item %2
Взять интеграл
   $\dspl\int {dx\over (x-2)\sqrt{x^24x+3}}$.

\item %3
Доказать оценку погрешности в формуле прямоугольников
$$\left|\int\limits_a^b f(x)\,dx
-\sum\limits_{i=1}^n f(a+{b-a\over n}i){b-a\over n}\right|\le 
   M_1{(b-a)^2\over{2n}},$$ 
где $M_1$ --- максимум модуля $f'(x)$ на данном отрезке.
\end{enumerate}
\bigskip

\centerline{Домашнее задание}
\medskip

В задачах 1--2 рекомендуется использовать подстановку, которая
получается из рациональной параметризации кривой второго порядка,
заданной уравнением $y^2=f(x)$, где $f(x)$ --- выражение под знаком
корня.
Задачи 3 и 4 можно решить с использованием формулы Лагранжа о промежуточном 
значении.
Задачу 5 --- сведением к определению интеграла как предела интегральных сумм.
\begin{enumerate}
\item
$\dspl\int {dx\over 1+\sqrt{1-2x-x^2}}$.

\item
$\dspl\int {dx\over x+\sqrt{x^2-x+1}}$.

\item
Доказать оценку погрешности в формуле трапеций:
$$\left|\int\limits_a^b f(x)dx-\int\limits_a^b h_n(x)dx\right|\le 
M_2{(b-a)^3\over{12n^2}},$$ 
где $M_2$ --- максимум модуля $f''(x)$ на данном отрезке.

\item
Вывести формулу Симпсона и оценить ее погрешность. (Функция заменяется
на каждом из отрезков разбиения параболой, проходящей через точки графика,
расположенными над концами отрезка и его серединой.)

\item
Найти предел
$\dspl\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n-1} {1\over\sqrt{n^2-k^2}}$

\item
Доказать формулу Стирлинга
$$n! \sim \sqrt{2\pi n}(n/e)^n.$$
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf Занятие No. 9, 11 ноября 1997}
\end{center}

Разбор задач на интегрирование квадратичных иррациональностей 
при помощи рациональной параметризации кривых второго порядка.
\bigskip

\centerline{Домашнее задание}

\begin{enumerate}
\item
Построить кривую
$x=(t+2)^2/(t+1)$, $y=(t-2)^2/(t-1)$.
 
\item
Построить кривую
$x=(2t-1)/(t^3(t-1))$, $y=(2t-1)/(t^2(t-1))$.

\item
Придумайте пару рациональных функций $x=f(t)$, $y=g(t)$,
задающие на плоскости ограниченную кривую без самопересечений и точек 
перегиба, все особые точки которой являются полукубическими точками 
возврата, а их число равно а) 1, б) 2, в) 3, г) 4.

\item
Всякая ли рационально параметризованная кривая на плоскости 
удовлетворяет полиномиальному уравнению от двух переменных?
Точнее, пусть $f(t)$ и $g(t)$ --- две рациональные функции.
Правда ли, что найдется многочлен от двух переменных
$P(x,y)$, не равный тождественно нулю, такой что $P(f(t),g(t))$
тождественно равно нулю?
\end{enumerate}

В задачах 1 и 2 требуется найти особые точки, ветви кривой, определить
их тип, найти число и примерное расположение точек перегиба и нарисовать
эскиз кривой.

\vfill\eject
\begin{center}
{\bf Занятие No. 10, 18 ноября 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1
Пусть $f\in C^\infty(\R)$; $x_1,\dots,x_n\in\R$ и $L$ --- полином Лагранжа:
$$L(x)=\sum_{i=1}^n 
 {(x-x_1)\cdot\dots\cdot\widehat{(x-x_i)}\cdot\dots\cdot(x-x_n)  \over
  (x_i-x_1)\cdot\dots\cdot\widehat{(x_i-x_i)}\cdot\dots\cdot(x_i-x_n)}
f(x_i)\ .$$
Доказать, что для каждого $x$ существует
$\xi\in\mbox{conv}\{x,x_1,\dots,x_n\}$ такая, что
$$f(x)-L(x)={(x-x_1)\cdot\dots\cdot(x-x_n) \over n!}f^{(n)}(\xi)\ .$$

\item %2
\newlength{\ttheo}
\settowidth{\ttheo}{где: }
Вывести из предыдущей задачи следующую оценку погрешности формулы трапеций:
$$\left|\int_a^b f(x)dx - 
 {h\left[f(x_0)+2f(x_1)+\dots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right] \over 2}\right| \leq
{M_2\over 12}(b-a)h^2\ ,$$
\begin{list}
{}{\topsep=0pt \parsep=5pt \itemsep=0pt \leftmargin=\ttheo \listparindent=0pt
   \labelsep=0pt \labelwidth=\ttheo}
\item[где: ] $h=(b-a)/n$;

$x_k=a+hk$ для $k=0,1,\dots,n$;

$\displaystyle M_2=\sup_{\xi\in[a,b]} |f^{(2)}(\xi)|$.
\end{list}

\item %3
Напоминание рядов Тейлора основных элементарных функций:
$$\begin{array}{lcl}
e^x&=&1+x+{1\over 2!}x^2+\dots+{1\over n!}x^n+\dots\ ;\vspace{8pt}\\
\sin(x)&=&x-{1\over 3!}x^3+{1\over 5!}x^5-\dots+{(-1)^n\over(2n+1)!}x^{2n+1}
          +\dots\ ; \vspace{8pt}\\
\cos(x)&=&1-{1\over 2!}x^2+{1\over 4!}x^4-\dots+{(-1)^n\over(2n)!}x^{2n}
          +\dots\ ; \vspace{8pt}\\
\ln(1+x)&=&x-{1\over 2}x^2+{1\over 3}x^3-\dots+{(-1)^{n-1}\over n}x^n
          +\dots\ ; \vspace{8pt}\\
(1+x)^\alpha&=&1+\alpha x+{\alpha(\alpha-1)\over 2!}x^2+\dots
          +{\alpha(\alpha-1)\cdot\dots\cdot(\alpha-n+1)\over n!}x^n+\dots\ .
\end{array}$$

\item %4
Получить разложение $\arctg(x)$ в ряд Тейлора:\vspace{8pt}\\
$\arctg(x)=x-{1\over 3}x^3+{1\over 5}x^5-\dots+{(-1)^n\over 2n+1}x^{2n+1}
          +\dots\ .$

\item %5
Разложить в ряд Тейлора следующие функции:

\begin{tabular}{ll}
а)&$1/\cos(x)$;\\
б)&$e^{\sin(x)}$;\\
в)&$\sqrt{\cos(x)}$;\\
г)&$\arcsin(x)$;\\
д)&$\sin(\tg(x))-\tg(\sin(x))$.
\end{tabular}
(во всех примерах, кроме последнего, найти по три ненулевых члена разложения;
в последнем примере --- один).

\item %6
С помощью дифференциального уравнения $(\tg(x))'=(\tg(x))^2+1$
получить рекуррентную формулу для коэффициентов Тейлора функции $\tg(x)$.

\item %7
Функция $h(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению
$$x(1-x)h''(x)+(1-2x)h'(x)-(1/4)h(x)=0$$
и начальным условиям $h(0)=1$, $h'(0)=1/4$. Найти разложение $h(x)$
в ряд Тейлора.

\end{enumerate}

\vfill\eject
\begin{center}
{\bf Занятие No. 11, 25 ноября 1997}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %1
Исследовать на сходимость следующие ряды:\\
\begin{tabular}{ll}
а)&$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1\over n^s}$\ ; \vspace{8pt}\\
б)&$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1\over n(\ln n)^p}$\ ;\vspace{8pt}\\
в)&$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1\over n\ln n(\ln\ln n)^p}$\ ;
     \vspace{8pt}\\
г)&$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \bigl(n^p-(n-1)^p-pn^{p-1}\bigr)$\ ;\vspace{8pt}\\
д)&$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n})$\ ;
     \vspace{8pt}\\
е)&$\displaystyle \left({1\over 2}\right)^p + 
                   \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^p +
                   \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^p +
                   \dots$\ ; \vspace{8pt}\\
ж)&$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {n!e^n\over n^{n+p}}$\ .
\end{tabular}

\item %2
Может ли последовательность $\varepsilon_n$ стремиться к нулю настолько
медленно, чтобы ряд
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1\over n^{1+\varepsilon_n}}$
сходился?

\end{enumerate}

\end{document}