% latex2e, UNIX (ntex) russification scheme.
% if necessary, delete the line marked %
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{cyrsam,russiankoi}         %
\usepackage{amsfonts,amssymb}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}
\addtolength{\textheight}{42mm}
\addtolength{\topmargin}{-26mm}
\title{������������� ��������� � ���������\\
    ����������, ������ � ��������}
\author{�.�.�����}
\date{21 ������� 1998}
\def\A{{\cal A}}
\def\B{{\cal B}}
\def\F{{\cal F}}
\def\R{{\bf R}}
\def\G{\Gamma}
\def\g{{\mathfrak g}}
\def\di#1{\raisebox{0pt}[20pt][23pt]{#1}}
\def\bepi#1{\makebox[36pt]{\unitlength=20pt
            \begin{picture}(1.8,1.1)(-0.98,-0.2)  #1
            \end{picture}} }
\def\ccdvertr#1{\put(0,0.4){\circle*{#1}} \put(0.346,-0.2){\circle*{#1}}
           \put(-0.346,-0.2){\circle*{#1}}
           \put(0,1){\circle*{#1}} \put(0.866,-0.5){\circle*{#1}}
           \put(-0.866,-0.5){\circle*{#1}}
           \put(0,0.4){\line(0,1){0.6}}
           \bezier{20}(0.346,-0.2)(0.606,-0.35)(0.866,-0.5)
           \bezier{20}(-0.346,-0.2)(-0.606,-0.35)(-0.866,-0.5) }
\def\verfigon#1{\put(0,1){\circle*{#1}} \put(0.94,0.342){\circle*{#1}}
       \put(0.574,-0.819){\circle*{#1}} \put(-0.94,0.342){\circle*{#1}}
       \put(-0.574,-0.819){\circle*{#1}} \put(0,0.4){\circle*{#1}}
       \put(0.376,0.137){\circle*{#1}} \put(0.23,-0.328){\circle*{#1}}
       \put(-0.376,0.137){\circle*{#1}} \put(-0.23,-0.328){\circle*{#1}}
       \bezier{20}(0.376,0.137)(0.188,0.269)(0,0.4)
       \bezier{20}(0.23,-0.328)(0.303,-0.096)(0.376,0.137)
       \bezier{20}(-0.376,0.137)(-0.188,0.269)(0,0.4)
       \bezier{20}(-0.23,-0.328)(-0.303,-0.096)(-0.376,0.137)
       \bezier{20}(0.23,-0.328)(0,-0.328)(-0.23,-0.328) }
\def\ccdwfi#1{\verfigon{#1} \put(0,0.4){\line(0,1){0.6}}
       \bezier{20}(0.376,0.137)(0.658,0.239)(0.94,0.342)
       \bezier{20}(0.23,-0.328)(0.402,-0.573)(0.574,-0.819)
       \bezier{20}(-0.376,0.137)(-0.658,0.239)(-0.94,0.342)
       \bezier{20}(-0.23,-0.328)(-0.402,-0.573)(-0.574,-0.819) }
\def\ccdverfo#1{\put(0.707,0.707){\circle*{#1}}
  \put(0.707,-0.707){\circle*{#1}}
  \put(-0.707,-0.707){\circle*{#1}} \put(-0.707,0.707){\circle*{#1}}
  \put(-0.3,-0.3){\circle*{#1}} \put(-0.3,0.3){\circle*{#1}}
  \bezier{30}(-0.3,-0.3)(-0.5,-0.5)(-0.707,-0.707)
  \put(-0.3,-0.3){\line(0,1){0.6}}
  \bezier{30}(-0.3,0.3)(-0.5,0.5)(-0.707,0.707)
  \put(0.3,0.3){\circle*{#1}} \put(0.3,-0.3){\circle*{#1}}
  \bezier{30}(0.3,0.3)(0.5,0.5)(0.707,0.707)
  \put(0.3,0.3){\line(0,-1){0.6}}
  \bezier{30}(0.3,-0.3)(0.5,-0.5)(0.707,-0.707)
  \put(0.3,-0.3){\line(-1,0){0.6}} }

\begin{document}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item
������� �������-����������� ������������ ����� ����� ����������������
������
����� 1..6 � �������������� �� 6 ��������, ���������� �� 3 ������������,
������� �������� � 6-�������� �������� ����� $K_7$, ���������� ��������
��� ������� ����� 3 � 4 �� ����� ����������� �����.

\item
����� $K_n$ --- ������ ���� � $n$ ���������.
���������������:
\begin{enumerate}
   \item ����������� �������� ��� $K_3$,
   \item ���������� ��� $K_4$ �� ����� $K_2$,
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
  \item
������� ����������� � ������� �����-������ ����� ������������ $A_n$
��� $n\leqslant3$, ������� ��� 4-������� ����������� �����
���������������� ��������� �����������.
  \item
�������� ��� $STU$-����������� ����� ����������� �������� �������
$\leqslant3$,
������� ����������� � ������� �����-������ ����� ������������ $\F_n$
��� $n\leqslant3$.
  \item
�������� ��� ����������� ����� ���������� ����������� �������
$\leqslant3$,
����� ����������� � ����� ����������� $\B_n$ ��� $n\leqslant3$.
  \item
� ��������� ������� ������� ����� ��� ������������ $\A=\F=\B$.
  \item
��������� ������� ��������� �� ����������� 3 � ������� $\F$
��� �������� ���������, ������������ �� $\B$ ����� �����������
$\F=\B$.
\end{enumerate}

\item
�������� ��������� ��������� � ������� �������� ��������:
$$
\begin{array}{rcl}
  \di{\bepi{\put(0,0){\circle{2}} \ccdwfi{0.15}}}
    & = & (3/4)\ \di{\bepi{
              \put(0,0){\circle{2}}
              \ccdverfo{0.15} \put(-0.125,0.3){\circle*{0.15}}
              \put(0.125,0.3){\circle*{0.15}}
              \bezier{20}(-0.125,0.3)(0,0.7)(0.125,0.3)
              \bezier{20}(-0.125,0.3)(0,-0.1)(0.125,0.3)
              \bezier{15}(-0.3,0.3)(-0.263,0.3)(-0.125,0.3)
              \bezier{20}(0.3,0.3)(0.263,0.3)(0.125,0.3) }} +
          (1/12)\ \di{\bepi{\put(0,0){\circle{2}}
          \put(-1,0){\circle*{0.15}} \put(1,0){\circle*{0.15}}
          \put(-0.6,0){\circle*{0.15}} \put(0.6,0){\circle*{0.15}}
          \put(-0.2,0){\circle*{0.15}} \put(0.2,0){\circle*{0.15}}
          \put(-0.4,0.4){\circle*{0.15}} \put(0.4,0.4){\circle*{0.15}}
          \put(-0.4,-0.4){\circle*{0.15}} \put(0.4,-0.4){\circle*{0.15}}
          \bezier{15}(-1,0)(-0.8,0)(-0.6,0) \bezier{15}(1,0)(0.8,0)(0.6,0)
          \bezier{15}(-0.2,0)(0,0)(0.2,0) \put(-0.4,0.4){\line(1,0){0.8}}
          \put(-0.4,-0.4){\line(1,0){0.8}}
          \bezier{25}(-0.6,0)(-0.5,0.2)(-0.4,0.4)
          \bezier{25}(-0.6,0)(-0.5,-0.2)(-0.4,-0.4)
          \bezier{25}(0.6,0)(0.5,0.2)(0.4,0.4)
          \bezier{25}(0.6,0)(0.5,-0.2)(0.4,-0.4)
          \bezier{25}(-0.2,0)(-0.3,0.2)(-0.4,0.4)
          \bezier{25}(-0.2,0)(-0.3,-0.2)(-0.4,-0.4)
          \bezier{25}(0.2,0)(0.3,0.2)(0.4,0.4)
          \bezier{25}(0.2,0)(0.3,-0.2)(0.4,-0.4) }}  - (1/48)\
\di{\bepi{ \put(0,0){\circle{2}} \put(-1,0){\circle*{0.15}}
\put(1,0){\circle*{0.15}}
\bezier{10}(-1,0)(-0.9,0)(-0.8,0) \put(-0.8,0){\circle*{0.15}}
\put(-0.55,0){\circle*{0.15}} \bezier{20}(-0.8,0)(-0.68,0.4)(-0.55,0)
\bezier{20}(-0.8,0)(-0.68,-0.4)(-0.55,0)
\bezier{10}(-0.55,0)(-0.45,0)(-0.35,0) \put(-0.35,0){\circle*{0.15}}
\put(-0.1,0){\circle*{0.15}} \bezier{20}(-0.35,0)(-0.27,0.4)(-0.1,0)
\bezier{20}(-0.35,0)(-0.27,-0.4)(-0.1,0)
\bezier{10}(-0.1,0)(0,0)(0.1,0)
\bezier{10}(0.55,0)(0.45,0)(0.35,0) \put(0.35,0){\circle*{0.15}}
\put(0.1,0){\circle*{0.15}} \bezier{20}(0.35,0)(0.27,0.4)(0.1,0)
\bezier{20}(0.35,0)(0.27,-0.4)(0.1,0)
\bezier{10}(1,0)(0.9,0)(0.8,0) \put(0.8,0){\circle*{0.15}}
\put(0.55,0){\circle*{0.15}} \bezier{20}(0.8,0)(0.68,0.4)(0.55,0)
\bezier{20}(0.8,0)(0.68,-0.4)(0.55,0) }}\ .
\end{array}$$

\item
�������� �������� ������������� ���� ���������, ������� � ������ �����
���������� ���������, �������� �� ��� �������� $gl_N$-����������.

\item
��������� ����� ������� $IHX$-�����������, ������� ���������� ���������
��������� ���� ��������� � ������� 3-������ $\G$:

\begin{center}
\unitlength10pt
\begin{picture}(24,8)

\put(0,1){
\begin{picture}(10,6)(-5,-3)
   \put(0,0){\oval(10,6)}
   \put(-3,-3){\line(0,1){6}}
   \put(-1,-3){\line(0,1){6}}
   \put(1,-3){\line(0,1){6}}
   \put(3,-3){\line(0,1){6}}
   \put(-3,-1){\line(1,0){2}}
   \put(-3,1){\line(1,0){2}}
   \put(1,-1){\line(1,0){2}}
   \put(1,1){\line(1,0){2}}
   \put(-3,-1){\circle*{0.4}}
   \put(-3,1){\circle*{0.4}}
   \put(-1,-1){\circle*{0.4}}
   \put(-1,1){\circle*{0.4}}
   \put(3,-1){\circle*{0.4}}
   \put(3,1){\circle*{0.4}}
   \put(1,-1){\circle*{0.4}}
   \put(1,1){\circle*{0.4}}
   \put(-3,-3){\circle*{0.4}}
   \put(-1,-3){\circle*{0.4}}
   \put(1,-3){\circle*{0.4}}
   \put(3,-3){\circle*{0.4}}
   \put(-3,3){\circle*{0.4}}
   \put(-1,3){\circle*{0.4}}
   \put(1,3){\circle*{0.4}}
   \put(3,3){\circle*{0.4}}
\end{picture}}

\put(14,0){
\begin{picture}(10,8)
   \put(5,1){\circle{2}}
   \put(1,1){\line(1,0){3}}
   \put(6,1){\line(1,0){3}}
   \put(1,1){\line(0,1){2}}
   \put(9,1){\line(0,1){2}}
   \put(1,3){\line(1,0){2}}
   \put(0,5){\line(1,0){2}}
   \put(1,7){\line(1,0){2}}
   \put(4,5){\line(1,0){2}}
   \put(7,3){\line(1,0){2}}
   \put(7,7){\line(1,0){2}}
   \put(8,5){\line(1,0){2}}
   \put(1,3){\line(-1,2){1}}
   \put(3,3){\line(-1,2){1}}
   \put(4,5){\line(-1,2){1}}
   \put(7,3){\line(-1,2){1}}
   \put(8,5){\line(-1,2){1}}
   \put(10,5){\line(-1,2){1}}
   \put(0,5){\line(1,2){1}}
   \put(2,5){\line(1,2){1}}
   \put(3,3){\line(1,2){1}}
   \put(6,5){\line(1,2){1}}
   \put(7,3){\line(1,2){1}}
   \put(9,3){\line(1,2){1}}
   \put(1,7){\line(0,1){1}}
   \put(9,7){\line(0,1){1}}
   \put(1,8){\line(1,0){8}}
   \put(4,1){\circle*{0.4}}
   \put(6,1){\circle*{0.4}}
   \put(1,3){\circle*{0.4}}
   \put(0,5){\circle*{0.4}}
   \put(2,5){\circle*{0.4}}
   \put(3,3){\circle*{0.4}}
   \put(3,7){\circle*{0.4}}
   \put(4,5){\circle*{0.4}}
   \put(6,5){\circle*{0.4}}
   \put(7,3){\circle*{0.4}}
   \put(7,7){\circle*{0.4}}
   \put(8,5){\circle*{0.4}}
   \put(9,3){\circle*{0.4}}
   \put(9,7){\circle*{0.4}}
   \put(10,5){\circle*{0.4}}
\end{picture}}

\end{picture}
\end{center}

\item
����� $\A^*$ --- ������� �������� ������� �� �������� ����������
� 4-������� ������������,
� $\tilde{A}^*$ --- ������� �������� ������� �� �������� ����������
� 1-������� � 4-�������
�������������. ������� ������������ �������� $\tilde{A}^*\to\A^*$.
������� ����� ������� ��� �������� $\A^*\to\tilde{A}^*$, ������������
��� ��������.

\item
��������� ��������� ����-��������� ��������� $G^{(4)}$
����������� ������ ���������� (������� ��� ��������� �����,
����������� $G_k^{(4)}$, $k=3,\dots,6$ � ���������� �� ���
������������).

\item
${}^*$ ��������, ��� ���������� ����� �� ���������, �.�. ����������
������������ $\R^{E(\G)}\oplus H^1(\G,\R)$, ������������ ����������
����� �� �������, ������� ������������ ����� ��������� ������
� ����������� ������� �� ������.
������ ������, ��������, ��� ����������� ����� ��������� ����������
������������ $\R^{E(\G)}\oplus H^1(\G,\R)$ ����� � ������ �����, �����
�� ���� ������������ ������ ������������ ������ � ������ �����������
������� ����� �����, ���� �������� ������������ ������ � ������ �����������
� ��������� ����� �����.

\end{enumerate}

\bigskip

\centerline{\bf �������� ��������}
\begin{enumerate}

\item
���������� �� ���� ���� ������� 57?

\item
����� ��, ��� ������ �������� ��������� ����� ������ �����������
��������� �� ������ 4-������� �����������?

\item
����� ��, ��� ��������� �������� � ����� �������������� ���������
������ ����� ����, ��� ������� ������� $\B$?

\item
����� ��, ��� �������� ��������� �� ``������" (� �������� $\F$,
$\G$ ��� $\Lambda$) �� ����� ����?

\end{enumerate}

\end{document}
w_3 = \di{\bepi{\put(0,0){\circle{2}} \ccdwtr{0.15}}}
    & = & (1/4)\ \di{\bepi{\put(0,0){\circle{2}}
          \put(-1,0){\circle*{0.15}} \put(1,0){\circle*{0.15}}
          \put(-0.6,0){\circle*{0.15}} \put(0.6,0){\circle*{0.15}}
          \put(-0.2,0){\circle*{0.15}} \put(0.2,0){\circle*{0.15}}
          \bezier{15}(-1,0)(-0.8,0)(-0.6,0) \bezier{15}(-0.2,0)(0,0)(0.2,0)
          \bezier{15}(1,0)(0.8,0)(0.6,0)  \bezier{25}(0.2,0)(0.4,0.5)(0.6,0)
          \bezier{25}(0.2,0)(0.4,-0.5)(0.6,0)
          \bezier{25}(-0.2,0)(-0.4,0.5)(-0.6,0)
          \bezier{25}(-0.2,0)(-0.4,-0.5)(-0.6,0) }}\ ; \\
\def\ccdwtr#1{\ccdvertr{#1} \bezier{25}(0.346,-0.2)(0.173,0.1)(0,0.4)
           \bezier{25}(-0.346,-0.2)(-0.173,0.1)(0,0.4)
           \bezier{25}(-0.346,-0.2)(0,-0.2)(0.346,-0.2) }

