\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{cyrsam}
\usepackage{russiankoi}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\pagestyle{empty}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\f{\varphi}

\begin{document}

\begin{center}
{\scriptsize\sf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ}\\
\hrulefill\\
\medskip
{\Large Экзамен по математическому анализу, 1 курс}\\
\medskip
{6 мая 1998}\\
\medskip
{\it С. В. Дужин, С. М. Натанзон, С. В. Чмутов}
\end{center}
\bigskip

\begin{enumerate}

\item %1
Докажите, что непрерывная функция на сфере
$\{(x,y,z)\in\R^3\ |\ x^2+y^2+z^2=1\}$ принимает равные значения 
в некоторой паре диаметрально противоположных точек.

\item %2
Пусть $\f:\R^2_{x,y}\to\R^2_{u,v}$ --- гладкое отображение, переводящее точку
$A=(1,0)\in\R^2_{x,y}$ в точку $B=(1,1)\in\R^2_{u,v}$ и в окрестности этих
точек заданное неявно соотношениями
\begin{eqnarray*}
   x^3-3xy^2+u^3-3uv^2 &=& -1, \\
   3x^2y-y^3+3u^2v-v^3 &=& 2.
\end{eqnarray*}
Найдите матрицу Якоби отображения $\f$ в точке $A$ и отображения $\f^{-1}$ 
в точке $B$.

\item %3
Укажите диффеоморфизм окрестности нуля в $\R^2$, приводящий функцию
$f(x,y)= xy+x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ к каноническому морсовскому виду.

\item %4
Найдите все критические точки функции $x^3+y^3+z^3+u^3$
на поверхности, заданной в $\R^4$ уравнениями $x+y+z+u=0$ и 
$x^2+y^2+z^2+u^2=12$. Сколько среди них максимумов, минимумов и седел?

\item %5
Вычислите объем тора, полученного вращением круга 
$$\{x,y\ |\ (x-1)^2+y^2 \leqslant 1/4\}$$ вокруг оси $Oy$ в
трехмерном пространстве с координатами $x$, $y$, $z$.

\item %6
Сосчитайте интеграл
$$
  \int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2}dx\ .
$$

\end{enumerate}

\vfill
\rightline{\scriptsize typeset by S.~V.~Duzhin, {\tt duzhin@botik.ru}}
\end{document}