\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{cyrsam}
\usepackage{russiankoi}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\pagestyle{empty}
\def\R{{\mathbb R}}

\begin{document}

\begin{center}
{\scriptsize\sf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ}\\
\hrulefill\\
\medskip
{\Large Экзамен по математическому анализу, 1 курс}\\
\medskip
{5 сентября 1998}\\
\medskip
{\it С. В. Дужин}
\end{center}
\bigskip

\begin{enumerate}

\item %1
Сформулируйте и докажите лемму Морса.

\item %2
Пусть $\R^4$ --- пространство вещественных матриц размера $2\times2$,
а отображение $f:\R^4\to\R^4$ переводит матрицу
$$
  X = \pmatrix{x & y \cr
               z & t}.
$$
в матрицу $X^n$. Сосчитайте матрицу Якоби и якобиан 
отображения $f$ в точке
$$
  A = \pmatrix{1 & 1 \cr
               0 & 1},
$$
пользуясь системой координат $x$, $y$, $z$, $t$.

\item %3
Определите число, расположение и тип критических точек функции 
$$
  f(x,y)=\sin x\sin y
$$ 
на периоде $[0,2\pi)\times[0,2\pi)$.

\item %4
Проведите к эллипсоиду
$$
  {x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2} = 1
$$
в первом октанте такую касательную плоскость
$ABC$ ($A$, $B$, $C$ --- точки на осях координат), чтобы 
точка пересечения медиан треугольника $ABC$ находилась
от начала координат на наименьшем расстоянии.

\item %5
Пусть $T$ --- половина полнотория, полученного вращением
круга 
$$
  (y-a)^2+z^2\leqslant b^2
$$ 
вокруг оси $Oz$, лежащая
в полупространстве $x\geqslant0$. Найдите $x$-координату центра 
тяжести тела $T$. ({\it По определению, это отношение интеграла функции
$x$ к интегралу функции $1$ по области $T$}).

\item %6
Выразите интеграл
$$
  \int_{0}^1 {x^n\over\sqrt{1-x^2}}dx
$$
через $\Gamma$-функцию.

\end{enumerate}

\vfill
\rightline{\scriptsize typeset by S.~V.~Duzhin, {\tt duzhin@botik.ru}}
\end{document}