% LaTeX2e 
% russification: UNIX (ntex)
%
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{cyrsam}
\usepackage{russiankoi}
\usepackage{amsfonts}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}
\addtolength{\textheight}{45mm}
\addtolength{\topmargin}{-25mm}
\def\p{\partial}
\def\f{\varphi}
\def\la{\lambda}
\def\R{{\mathbb R}}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{center}
{\scriptsize\sf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ}\\
\hrulefill\\
\medskip  
{\bf Домашняя контрольная работа по матанализу (I курс)}\\
{\footnotesize Задание выдано 17.03.98. Решения подлежат сдаче 24.03.98}
\end{center}
\bigskip
\begin{enumerate}
\item %1
Пусть $d$ --- метрика на множестве $E$, удовлетворяющая условию
$$d(x,z)\le\max(d(x,y),d(y,z))$$ для всех $x,y,z\in E$.

Докажите, что
\begin{enumerate}
\item если $d(x,y)\ne d(y,z)$, то $d(x,z)=\max(d(x,y),d(y,z))$.
\item любой открытый шар $B(x,r)=\{y\in E\,|\,d(x,y)<r\}$ является 
одновременно открытым и замкнутым множеством.
\item $B(y,r)=B(x,r)$ для любой точки $y\in B(x,r)$.
\item если два шара имеют общую точку, то один из них содержится 
в другом.
\item Приведите пример метрики, удовлетворяющей данному условию 
(при этом постарайтесь, чтобы множество $E$ было по возможности бесконечным, 
а функция $D$ отлична от константы).
\end{enumerate}

\item %2
Можно ли следующие функции доопределить до функций,
непрерывных в точке $(0,0)$:
\begin{enumerate}
\item $f(x,y)=\displaystyle{xy\over x^2+y^2}$, если $(x,y)\ne(0,0)$?
\item $f(x,y)=\displaystyle{xy\over\sqrt{x^2+y^2}}$, если $(x,y)\ne(0,0)$? 
\end{enumerate}

\item %3
Найти все гладкие функции $f(x,y)$, удовлетворяющие уравнению
$$
  x {\p f\over\p x} + y{\p f\over \p y} = \sqrt{x^2+y^2}.
$$

\item %4
Пусть $B$ --- матрица билинейной формы $\f(x,y)=xBy$, где $x\in\R^n$
--- вектор-строка, а $y\in\R^n$ --- вектор-столбец.
Рассмотрим $\f$ как функцию $\f:\R^{2n}=\R^n\times\R^n\to\R$.
Выразить матрицу Якоби функции $\f$ в точке $(x_0,y_0)\in\R^{2n}$
через матрицу $B$.

\item %5
Непрерывная функция $\la(x,y,z)$ задана в окрестности точки $(0,0,0)$
условиями:

1. $\la(0,0,0)=1$,

2. $\la(x,y,z)$ --- собственное значение матрицы
$$\pmatrix{0 & z & y \cr
           z & 1 & x \cr
           y & x & 0}.
$$
Найи разложение функции $\la(x,y,z)$ в ряд Тейлора до второго порядка
в точке $(0,0,0)$.

\item %6
Дана функция $f(x,y)=(x^2+3y^2)e^{1-x^2-y^2}$.
Найти все ее критические точки, указать их тип, нарисовать на плоскости
картину линий уровня функции $f(x,y)$ и векторное поле ее градиента.
\vfill
\rightline{\scriptsize С.\,Дужин, С.\,Чмутов}
\end{enumerate}
\end{document}