% LaTeX2e, UNIX, koi8
%
\documentclass{article}
\usepackage{cyrsam}
\usepackage{russiankoi}
\usepackage{amsfonts}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{32mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\def\Z{{\mathbb Z}} % es gibt auch: mathfrak, mathbf
\def\R{{\mathbb R}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\e{\varepsilon}
\def\dspl{\displaystyle}
\def\theenumi{\alph{enumi}}
\def\d{\partial}

\begin{center}
{\scriptsize\sf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НЕЗАВИСИМОГО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА}\\
\hrulefill\\
\medskip
{\large Математический анализ, 1 курс, весна 1998}\\
\medskip
{\it С. В. Дужин} (\verb#duzhin@botik.ru#)
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf Листовка No. 1, 10.02.1998}
\end{center}

{\bf 1.}
   Существует ли многочлен $f\in\R[x,y]$, принимающий на плоскости
положительные, но сколь угодно малые значения (т.е. такой, что
$f(x,y)>0$ для всех $x,y\in\R$ и $\inf\limits_{x,y\in\R}f(x,y)=0$)?
\medskip

{\bf 2.}
   Какие из следующих функций можно доопределить таким образом, чтобы
   они стали непрерывны в точке $(0,0)$: 
${x^2-y^2\over x^2+y^2}$,
${x^3-y^3\over x^4+y^4}$,
$\dspl{e^{-{1\over|x-y|}}}$,
$|x|^y$,
$|x|^{1/|y|}$?
\medskip

{\bf 3.}
  Функция $f(x,y)$ имеет нулевой предел, когда точка $(x,y)$ стремится к 
$(0,0)$ вдоль любой прямой. Вытекает ли отсюда, что функция $f(x,y)$ 
непрерывна в точке $(0,0)$?
\medskip

{\bf 4.}
Двойная последовательность --- это отображение $\Z\times\Z\to\R$.
Число $a$ называется пределом двойной последовательности $a_{mn}$,
$$
  \lim_{m,n\to\infty}a_{mn}=a,
$$
если для всякого $\e>0$ существует номер $K\in\N$ такой что
$|a_{mn}-a|<\e$, если $m>K$ и $n>K$.

\begin{enumerate}
\item %a
  Привести пример последовательности, для которой
  $$ \lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}a_{mn} \ne 
     \lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}a_{mn}.
  $$
  
\item %b
  Верно ли, что если повторные пределы существуют и равны,
  $$ \lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}a_{mn} =
     \lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}a_{mn}.
  $$
  то существует и предел двойной последовательности
  $\lim_{m,n\to\infty}a_{mn}$?

\item %c
   Может ли так случиться, что двойной предел
    $\lim_{m,n\to\infty}a_{mn}$
существует, но ни при каком фиксированном $m$ последовательность
$a_{mn}$ не имеет предела при $n\to\infty$?
\end{enumerate}
\medskip

{\bf 5.}
Существует ли функциональная зависимость между следующими 6 функциями
6 вещественных переменных:
$x_1^2+y_1^2$, $x_2^2+y_2^2$, $x_3^2+y_3^2$, 
$x_1x_2+y_1y_2$, $x_1x_3+y_1y_3$, $x_3x_2+y_3y_2$?
\medskip

{\bf 6.}
Докажите, что следующие две системы уравнений равносильны:

$$\begin{array}{rrr}
   x_1^2+x_2^2+x_3^2=1, &\qquad&     x_1^2+y_1^2+z_1^2=1,\\
   y_1^2+y_2^2+y_3^2=1, &\qquad&     x_2^2+y_2^2+z_2^2=1,\\
   z_1^2+z_2^2+z_3^2=1, &\qquad&     x_3^2+y_3^2+z_3^2=1,\\
x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=0, &\qquad&  x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0,\\
x_1z_1+x_2z_2+x_3z_3=0, &\qquad&  x_1x_3+y_1y_3+z_1z_3=0,\\
y_1z_1+y_2z_2+y_3z_3=0, &\qquad&  x_2x_3+y_2y_3+z_2z_3=0.
\end{array}$$
\medskip

{\bf 7.}
Функция $f\in C^\infty(\R^n)$ называется {\it однородной степени $k$},
если $f\circ H_\lambda = \lambda^k f$, где $H_\lambda:\R^n\to\R^n$
--- гомотетия с коэффициентом $\lambda$ и центром в начале координат.
Докажите теорему Эйлера:
{\it функция $f$ однородна степени $k$ тогда и только тогда, когда
она удовлетворяет дифференциальному уравнению $X(f)=kf$, где
$X=\d/\d x_1+\dots+\d/\d x_n$ --- радиальное векторное поле.}
\medskip

{\bf 8.}
Пусть $f(x_1,\dots,x_n)=(x_1^2+\dots+x_n^2)^{(2-n)/2}$.
Проверьте, что ${\d^2f\over\d x_1^2}+\dots+{\d^2f\over\d x_n^2}=0$.
Каков правильный аналог этой функции для $n=2$?
\medskip

{\bf 9.}
Пусть $f(x,y)=xy{x^2-y^2\over x^2+y^2}$.
Сосчитайте ${\d^2f\over\d x\d y}$ и ${\d^2f\over\d y\d x}$
в точке $(0,0)$.

\end{document}