% LaTeX2e (ntex russification scheme, UNIX)
%
\documentclass{article}
\usepackage{cyrsam}
\usepackage{russiankoi}
\usepackage{amsfonts}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{32mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\Int{\mathop{\rm Int}\nolimits}
\def\Cl{\mathop{\rm Cl}\nolimits}

\begin{center}
{\scriptsize\sf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НЕЗАВИСИМОГО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА}\\
\hrulefill\\
\medskip
{\large Математический анализ, 1 курс, весна 1998}\\
\medskip
{\it С. В. Дужин} (\verb#duzhin@botik.ru#)
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf Листовка No. 2 --- 17.02.1998}
\end{center}

{\bf 1.}
(a)
Докажите, что всякое открытое множество на вещественной прямой есть
объединение интервалов $\cup(a_i,b_i)$.

(b)
{\it Длиной} (конечной или бесконечной) такого множества назовем сумму
$\sum(b_i-a_i)$. Существует ли открытое множество длины меньше 1,
содержащее все (i) рациональные, (ii) иррациональные точки отрезка
$[0,1]$?
\medskip

{\bf 2.}
(a)
Приведите пример метрического пространства из 4 точек, которое нельзя
представить как подпространство (i) $\R^2$, (ii) $\R^3$.

(b) Найдите необходимые и достаточные условия, чтобы 6 чисел
являлись расстояниями между 4 точками в $\R^3$.
\medskip

{\bf 3.}
(a)
Проверьте, что каждая из следующих формул задает метрику в $\R^n$:
$$(x,y) \mapsto \sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}\,,\quad
(x,y) \mapsto \max_{1\le i\le n}|x_i-y_i|,\quad
(x,y) \mapsto \sum_{i=1}^n|x_i-y_i|.
$$

(b)
Нарисуйте сферы и шары для этих метрик на плоскости.

(c)
Придумайте однопараметрическое семейство метрик, включающее в себя
три предыдущих в виде частных стучаев. Как выглядит соответствующее
семейство ``сфер" на плоскости?

(d)
Докажите, что любые две из указанных выше метрик эквивалентны между собой
в том смысле, что существуют положительные константы $C_1$, $C_2$
такие, что для любой пары точек $x$ и $y$ выполняются соотношения
$\rho_1(x,y)<C_1\rho_2(x,y)$ и $\rho_2(x,y)<C_2\rho_1(x,y)$.

(e)
Придумайте на плоскости метрику, которая не входит в найденное выше 
семейство, но эквивалентна всем входящим в нее метрикам.
\medskip

{\bf 4.}
Является ли следующая величина метрикой на множестве всех компактных
подмножеств плоскости:
$$
  \rho(\Phi_1,\Phi_2) = \sup_{A\in\Phi_1}\inf_{B\in\Phi_2\rule{0mm}{2.4mm}}|AB|
$$
($|AB|$ --- евклидова длина отрезка $AB$)?
\medskip

{\bf 5.}
Обозначим через $\Int A$ множество внутренних точек множества
$A\subset\R^n$.

(a)
Докажите, что $\Int\Int A = \Int A$.

(b)
Правда ли, что для любых двух множеств $A$ и $B$ справедливы равенства
(i) $\Int (A\cup B) = \Int A\cup\Int B$,
(ii) $\Int(A\cap B) = \Int A\cap\Int B$?
\medskip

{\bf 6.}
Обозначим через $\Cl A$ замыкание множества $A$.
Существует ли такое множество $A\subset\R$, что

(a) $A$, $\Cl A$, $\Int A$, $\Cl\Int A$ попарно различны?

(b) $A$, $\Cl A$, $\Int A$, $\Int\Cl A$ попарно различны?

(c) $A$, $\Cl A$, $\Int A$, $\Cl\Int A$, $\Int\Cl A$ попарно различны?
\medskip

{\bf 7.}
(a)
Докажите, что для любого множества $A\subset\R$ выполняется равенство
$\Cl\Int\Cl\Int A = \Cl\Int A$.

(b)
({\it Задача Куратовского}.)
Какое наибольшее число различных множеств может получиться из одного
$A\subset\R$ при помощи операций $\Int$ и $\Cl$?
\medskip

{\bf 8.}
({\it Задача А.\,А.\,Кириллова}.)
Какое наибольшее число различных множеств может получиться из одного 
$A\subset\R$ при помощи операций замыкания и дополнения?

\end{document}