% LaTeX2e (ntex russification scheme, UNIX)
%
\documentclass{article}
\usepackage{cyrsam}
\usepackage{russiankoi}
\usepackage{amsfonts}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\grad{\mathop{\rm grad}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\d#1#2{{\partial#1\over\partial#2}}

\begin{center}
{\scriptsize\sf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НЕЗАВИСИМОГО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА}\\
\hrulefill\\
\medskip
{\large Математический анализ, 1 курс, весна 1998}\\
\medskip
{\it С. В. Дужин, С. В. Чмутов} (\verb#duzhin@botik.ru#)
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf Листовка No. 3 --- 24.02.1998}
\end{center}

{\bf 1.}
Является ли функция $f(x,y)$ дифференцируемой в точке $(0,0)$,
если
\smallskip

(a) $f(x,y) = \root{3}\of{xy}$ ?
\smallskip

(b) $f(x,y) = \root{3}\of{x^3+y^3}$ ?
\smallskip

(c) $f(x,y) = \left\{\begin{array}{cl}
                     e^{-{1\over x^2+y^2}}& \mbox{ при } x^2+y^2>0,\\
                     0 & \mbox{ при } x^2+y^2=0 ?
                    \end{array}\right.$
\medskip

{\bf 2.}
{\it Градиентом} функции $f(x,y)$ называется векторное поле на
плоскости
$$
  \grad f = \left(\d{f}{x},\d{f}{y}\right).
$$
Изобразить поле направлений градиента следующих функций:
\smallskip

(a) $f(x,y) = x^2+y^2$,
\smallskip

(b) $f(x,y) = \arctg{x\over y}$,
\smallskip

(c) $f(x,y) = \arcsin e^{-\tg \sqrt[3]{\ln(xy+1)}}$.
\medskip

{\bf 3.}
Стороны треугольника $a=200\pm2$, $b=300\pm5$, угол между ними
$\gamma=60^\circ\pm1^\circ$. Используя линейное приближение, найти 
примерную оценку погрешности, с которой эти данные позволяют 
определить длину третьей стороны треугольника.
\medskip

{\bf 4.}
Найти матрицы Якоби следующих отображений:
\smallskip

(a)
$\R^2\to\R^2$ --- инверсия относительно окружности  $x^2+y^2=1$.
\smallskip

(b)
$\R^3\to\R^2$ --- проекция на плоскость $z=0$ прямыми, проходящими
через точку $(0,0,1)$.
\smallskip

(c)
$\R^2\to\R^2$ --- отображение, заданное комплексным многочленом
$z\mapsto z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_n$ (вещественная плоскость $\R^2$
естественно отождествляется с комплексной прямой $\C$: $z=x+iy$).
\smallskip         

(d)
$\R^4\to\R^4$ --- отображение, переводящее матрицу $2\times2$ в ее квадрат.
\smallskip         

(e)
$\R^4\to\R^4$ --- отображение, переводящее матрицу $2\times2$ в обратную
к ней матрицу.
\medskip

{\bf 5.}
Рассмотрим отображение $f:\C_z\to\C_w$, заданное функцией
$z\mapsto w=z^2+2\overline{z}$.
\smallskip

(a)
На плоскости $\R^2=\C_z$ нарисовать кривую вырождения его якобиана
($\Gamma$).
\smallskip

(b)
На этой кривой изобразить поле ядер дифференциала $df$.
\smallskip

(c)
На плоскости $\R^2=\C_w$ нарисовать образ кривой $\Gamma$.

\end{document}