% LaTeX2e (ntex russification scheme, UNIX)
%
\documentclass{article}
\usepackage{cyrsam}
\usepackage{russiankoi}
\usepackage{amsfonts}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\grad{\mathop{\rm grad}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\d#1#2{{\partial#1\over\partial#2}}

\begin{center}
{\scriptsize\sf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ}\\
\hrulefill\\
\medskip
{\large Математический анализ, 1 курс, весна 1998}\\
\medskip
{\it С. В. Дужин, С. В. Чмутов}\\
\smallskip
(\verb#duzhin@botik.ru#, \verb#chmutov@botik.ru#) 
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf Листовка No. 4 --- 03.03.1998}
\end{center}

\medskip

{\bf 1.}
Найти выражение для частных производных следующих функций:
\smallskip

(a)
$F(x,y) = f(g(x)h(y),g(x)+h(y))$.
\smallskip

(b)
$F(x,y,z) = f(g(x+y),h(x+z))$.
\smallskip

(c)
$F(x,y,z)= f(x/y,y/z,z/x)$.
\medskip

{\bf 2.}
Рассмотрим в трехмерном пространстве $\R^3$ двумерные плоскости
$\R^2_1=\{z=1\}$, $\R^2_2=\{z=2\}$, $\R^2_3=\{z=3\}$
и отображения $f:\R^2_1\to\R^2_2$, $g:\R^2_2\to\R^2_3$, заданные 
центральной проекцией из точек $(0,0,0)$ и $(0,0,1)$ соответственно.
Найти матрицу Якоби данных двух отображений, матрицу Якоби их композиции 
и проверить цепное правило в данном примере.
\medskip

{\bf 3.}
Найти матрицу Якоби указанной ветви отображения $f^{-1}$ в
указанной точке, если 
\smallskip

(a)
$f:\R^2\to\R^2$ --- отображение, заданное комплексным многочленом
$z\mapsto w=z^3-2z$ (вещественная плоскость $\R^2$
естественно отождествляется с комплексной прямой $\C$: $z=x+iy$).
Точка $w=-1$. Ветвь такая, что $f^{-1}(-1) = 1$.
\smallskip

(b)
$f:\R^4\to\R^4$ --- отображение, переводящее матрицу $2\times2$ в ее квадрат.
Точка --- единичная матрица $E$. Рассматривается ветвь обратного отображения,
переводящая $E$ в $E$.
\smallskip

(c)
Можно ли, в условиях предыдущего примера, найти матрицу Якоби той
ветви отображения $f^{-1}$, которая переводит единичную матрицу $E$
в матрицу $\pmatrix{0 & 1 \cr 1 & 0}$? 
\medskip

{\bf 4.}
Выписать разложение в ряд Тейлора до второго порядка следующих функций
в окрестности данной точки:
\smallskip

(a)
$f(x,y) = 2x^2-xy-y^2-6x-2y+5$ в окрестности точки $(1,-2)$.
\smallskip

(b)
$f(x,y) = x^y$ в окрестности точки $(1,1)$.
\smallskip

(c)
$f(x,y) = \sin(x+y+z)$ в окрестности точки $(1,0,-1)$.
\smallskip

(d)
$f(x,y) = \int_0^1(1+x)^{t^2y}dt$ в окрестности точки $(0,0)$.
\smallskip

(e)
Ветви функции $z(x,y)$, заданной неявно уравнением
$z^3 - 2xz+y=0$ и начальным условием $z(1,1)=1$ в окрестности 
точки $(1,1)$.
\medskip

{\bf 5.}
Найти число, расположение и тип критических точек следующих функций:
\smallskip

(a)
$f(x,y) = x^2-xy+y^2-2x+y$.
\smallskip

(b)
$f(x,y) = \cos(x-y)-\cos(x)-\cos(y)$ (число критических точек на периоде).
\smallskip

(c)
$f(x,y)=2x^4+y^4-x^2-2y^2$.
\medskip

{\bf 6.}
$f:\R^2_{x,y}\to\R^2_{u,v}$ --- отображение, заданное в окрестности
точек $(1,1)\in\R^2_{x,y}$ и $(1,1)\in\R^2_{u,v}$ неявно соотношениями
$ux+vy+x^3=3$, $vx-uy+u^3=1$, $f(1,1)=(1,1)$.
Найти матрицу Якоби $f$ и $f^{-1}$ в указанной точке.
\medskip

{\bf 7.}
Пусть $\R^{n^2}$ --- пространство матриц размера $n\times n$ и
$\Delta:\R^{n^2}\to\R$ --- определитель.
\smallskip

(a)
Найдите дифференциал функции $\Delta$.
\smallskip

(b)
Найдите разложение функции $\Delta$ в ряд Тейлора в окрестности
нулевой матрицы.
\smallskip

(c)
Найдите разложение функции $\Delta$ в ряд Тейлора в окрестности
единичной матрицы.

\end{document}
