% LaTeX2e (ntex russification scheme, UNIX)
%
\documentclass{article}
\usepackage{cyrsam}
\usepackage{russiankoi}
\usepackage{amsfonts}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\grad{\mathop{\rm grad}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
\def\d#1#2{{\partial#1\over\partial#2}}
\def\dspl{\displaystyle}

\begin{center}
{\scriptsize\sf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ}\\
\hrulefill\\
\medskip
{\large Математический анализ, 1 курс, весна 1998}\\
\medskip
{\it С. В. Дужин, С. В. Чмутов}\\
\smallskip
(\verb#duzhin@botik.ru#, \verb#chmutov@botik.ru#) 
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf Листовка No. 5 --- 24.03.1998}
\end{center}

\medskip

{\bf 1.}
({\sl Лемма Адамара}.)
Пусть $f(x_1,\dots,x_n)$ --- гладкая функция на $\R^n$,
обращающаяся в 0 в точке $(0,\dots,0)$.
Доказать, что ее можно представить в виде
$$
  f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n x_ig_i(x_1,\dots,x_n),
$$
где $g_i$ --- гладкие функции.
\medskip

{\bf 2.}
Пусть $f(x_1,\dots,x_n)$ --- гладкая функция на $\R^n$,
обращающаяся в 0 в точках $a$ и $b$.
Доказать, что ее можно представить в виде
$$
  f=\sum_{i=1}^m g_ih_i,
$$
где $g_i$, $h_i$ --- гладкие функции, причем $g_i(a)=h_i(b)=0$.
Каким наименьшим значением $m$ можно здесь обойтись?
\medskip

{\bf 3.}
К какому простейшему виду приводится функция 
$f(x,y)=e^x+e^y-e^{x+y}$ локальными диффеоморфизмами в окрестности
данной точки и ее значения:

(a) в точке $(0,0)$?

(b) в точке $(-1,-1)$?
\medskip

{\bf 4.}
Найти диффеоморфизм $X(x,y)$, $Y(x,y)$ окрестности нуля
на плоскости, для которого $X^2-Y^2=\sin(x^2-y^2)$ (т.е. приводящий 
функцию $f(x,y)=\sin(x^2-y^2)$ к морсовскому каноническому виду).
\medskip

{\bf 5.}
Разложить каждый из следующих диффеоморфизмов в окрестности
указанной точки в композицию простейших (т.е. меняющих только одну
координату):
\smallskip

(a) 
$(x,y) \mapsto (x+y^2,y+x^2)$, точка $(0,0)$.
\smallskip

(b)
$(x,y,x) \mapsto (x\cos y\cos z,x\cos y\sin z,x\sin y)$, точка $(1,0,0)$.
\medskip

{\bf 6.}
Исследовать функции на условный экстремум методом множителей Лагранжа:
\smallskip

(a)
$x^2+y^2$ при $xy=1$.
\smallskip

(b)
$xy$ при $2x^2+8y^2-x^2y^2=0$.
\smallskip

(c)
$x+y+z$ при $1/x+4/y+9/z=1$.
\smallskip

(d)
$xy+yz$ при $x^2+y^2=2$, $x+z=2$.
\smallskip

(e)
$xyz$ при $x+y+z=5$, $xy+yz+zx=8$.
\smallskip

(f)
$\dspl{\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j}$ при $\dspl{\sum_{i=1}^n x_i^2=1}$.
\medskip

{\bf 7.}
Найти треугольник данного периметра, который вращением около одной из своих 
сторон образует тело наибольшего объема.
\medskip

{\bf 8.}
Около прямоугольного параллелепипеда со сторонами $(2a,2b,2c)$ описать
эллипсоид наименьшего объема.

\end{document}