% LaTeX2e (ntex russification scheme, UNIX)
%
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{cyrsam}
\usepackage{russiankoi}
\usepackage{amsfonts}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\def\dspl{\displaystyle}

\begin{center}
{\scriptsize\sf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ}\\
\hrulefill\\
\medskip
{\large Математический анализ, 1 курс, весна 1998}\\
\medskip
{\it С. В. Дужин, С. В. Чмутов}\\
\smallskip
(\verb#duzhin@botik.ru#, \verb#chmutov@botik.ru#) 
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bf Листовка No. 6 --- 31.03.1998}\\
{\scriptsize Издание 2-е, переработанное и дополненное}
\end{center}

\medskip

{\bf 1.}
Докажите следующие неравенства, исследуя условный экстремум
подходящей функции на подходящем многообразии:
\smallskip

(a)
$$
  {x^n+y^n\over2} \ge \left({x+y\over2}\right)^n \quad\mbox{при}
   \quad n\ge1;\ x,y\ge0.
$$
\smallskip

(b)
Неравенство Гельдера
$$
  \sum_{i=1}x_iy_i \le \left(\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{1/p}
                   \left(\sum_{i=1}^n y_i^q\right)^{1/q},
$$
если $x_i\ge0$, $y_i\ge0$, $p,q>0$, $1/p+1/q=1$.
\medskip

{\bf 2.}
({\sl ``Математический тривиум" 8}.)
Сколько максимумов, минимумов и седел имеет функция
$x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4+x_5^4$ на поверхности, заданной соотношениями
$x_1+\dots+x_5=0$, $x_1^2+\dots+x_5^2=1$, $x_1^3+\dots+x_5^3=C$?
\medskip

{\bf 3.}
По единичной сфере свободно движутся 4 точки с одинаковвым зарядом, 
отталкиваясь друг от друга по закону Кулона (т.е. стремясь минимизировать
сумму обратных расстояний $\sum_{i\ne j}1/r_{ij}$).
Будет ли устойчивым равновесие, при котором (a) точки расположены в
вершинах правильного тетраэдра? (b) точки лежат в вершинах квадрата,
вписанного в большой круг?
\medskip

{\bf 4.}
Вычислить кратные интегралы:
\smallskip

(a) $\dspl\int\!\!\int x^2y^2\,dx\,dy$ по квадрату $|x|\le1$, $|y|\le1$.
\smallskip

(b) $\dspl\int\!\!\int\!\!\int xyz\,dx\,dy\,dz$ по симплексу
$x+y+z\le1$, $x\ge0$, $y\ge0$, $z\ge0$.
\smallskip

(c) $\dspl{\int\!\!\int{x^3+y^3-3xy(x^2+y^2)\over(x^2+y^2)^{3/2}}\,dx\,dy}$
по кругу $x^2+y^2\le1$.
\smallskip

(d) $\dspl{\int\!\!\int e^{(y-x)/(y+x)}\,dx\,dy}$ по треугольнику 
с вершинами $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,0)$.
\smallskip

(e) $\dspl\int\!\!\int\!\!\int\,dx\,dy\,dz$ по внутренности эллипсоида
с полуосями $a$, $b$, $c$.
\medskip

{\bf 5.}
({\sl ``Математический тривиум" 16}.)
Какую долю от объема пятимерного куба составляет объем вписанного в него
шара? А от десятимерного?
\medskip

{\bf 6.}
({\sl ``Математический тривиум" 17}.)
Найти расстояние от центра тяжести однородного 100-мерного полушара 
радиуса 1 до центра шара с относительной погрешностью 10\%.
\medskip

{\bf 7.}
Доказать, что $\dspl\big|\int\!\!\int (u_x^2+u_y^2)\,dx\,dy\big|$
не изменяется при инверсии.

\end{document}
