% LaTeX2e (ntex russification scheme, UNIX)
%
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{cyrsam}
\usepackage{russiankoi}
\usepackage{amsfonts}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\def\dspl{\displaystyle}
\def\G{\Gamma}
\def\f{\varphi}

\begin{center}
{\scriptsize\sf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ}\\
\hrulefill\\
\medskip
{\large Математический анализ, 1 курс, весна 1998}\\
\medskip
{\it С. В. Дужин, С. В. Чмутов}\\
\smallskip
(\verb#duzhin@botik.ru#, \verb#chmutov@botik.ru#) \\
\vspace{0.5cm}
{\bf Листовка No. 7 --- 21.04.1998}
\end{center}

\medskip

{\bf 1.}
Определение $\G$-функции:
$\dspl{\G(x) = \int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\,dt}$.

(a)
Докажите, что $\G(x+1)=x\G(x)$.

(b)
Найдите $\G(1)$ и $\G({1\over2})$ и, используя п.~(а), выведите
формулы для значений $\G$-функции в целых и полуцелых точках.
\medskip

{\bf 2.}
Вычислите интеграл $\dspl{\int_0^\infty x^n e^{-x^2}\,dx}$
двумя способами:

(a)
Заменой переменной сведите его к значению $\G$-функции.

(b)
Дифференцированием по параметру $a$ интеграла 
$\dspl{I_n(a) = \int_0^\infty x^n e^{-ax^2}\,dx}$.
\medskip

{\bf 3.}
Докажите:
\smallskip

(a)        
Формулу разложения $\G$-функции в бесконечное произведение
$$
  \G(x)=\lim_{n\to\infty}{1\cdot2\cdot\dots\cdot(n-1)\over
        x(x+1)\dots(x+n-1)}n^x.
$$
\smallskip

(b)
Формулу дополнения $\G(x)\G(1-x)=\dspl{\pi\over\sin \pi x}$.
\medskip

{\bf 4.}
Определение $B$-функции:
$$
  B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1} (1-x)^{y-1} dt.
$$
Докажите следующие тождества:
\smallskip

(a)
$$
  B(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}(\sin\f)^{2x-1}(\cos\f)^{2y-1} d\f.
$$
\smallskip

(b) 
$$
  B(x+1,y) = {x\over x+y}B(x,y).
$$
\smallskip

(c) 
$$
  B(x,y) = {\G(x)\G(y)\over\G(x+y)}.
$$
\medskip


{\bf 5.}
Найдите значения следующих несобственных интегралов:

\begin{eqnarray*}
  &&\mbox{(a)}\quad \int_0^{\pi/2} \sin^\alpha{t}\,dt.
  \quad\quad
  \mbox{(b)}\quad\int_0^\infty e^{-ax^2}\cos{x}\,dx. \\
  &&\mbox{(c)}\quad\int_0^\infty {e^{-ax}-e^{-bx}\over x}\cos{x}\,dx.
  \quad\quad
  \mbox{(d)}\quad\int_0^\infty e^{-x^2-a^2/x^2}\,dx.
\end{eqnarray*}

\end{document}
