\input alg-head.tex

\begin{center}
{\Large Лекция 3}\\
{\Large\bf Теорема Лагранжа}
\end{center}

{\bf Определение.}
Пусть $(G,\star)$ --- группа.
{\it Подгруппой\/} группы $G$ называется подмножество $H\subset G$,
которое образует группу относительно той же операции $\star$.
Иными словами, подмножество $H$, претендующее на звание
подгруппы, должно обладать двумя свойствами:

1$^\circ$. (замкнутость относительно умножения)
Если $h_1,h_2\in H$, то $h_1\star h_2\in H$.

2$^\circ$. (замкнутость относительно перехода к обратному)
Если $h\in H$, то $h^{-1}\in H$.
\smallskip

(Остальные два свойства. входящие в определение группы:
ассоциативность и наличие нейтрального элемента --- выполняются
в данном случае автоматически.)
\medskip

{\sl Замечание.} Если группа $G$ конечна, то для подмножества $H\subset G$
свойство 2 вытекает из свойства 1.

\smallskip

{\bf Примеры.}

1. В любой группе есть две {\it несобственные\/} подгруппы:
тривиальная (состоящая из одного единичного элемента) и
полная (вся группа).

2. Рассмотрим аддитивные числовые группы $\Z$, $\Q$, $\R$, $\C$.
Тогда в цепочке $\Z\subset\Q\subset\R$ каждая группа является подгруппой
следующей.

3. Для любого $n$ имеем: $C_n\subset D_n$ --- подгруппа.

4. Перечислим все подгруппы группы $D_3$, глядя на ее таблицу 
умножения и рассуждая, исходя непосредственно из определения
подгруппы. Получим, что, помимо двух несобственных подгрупп,
имеются еще три подгруппы порядка 2 (каждая из них включает
тождественное преобразование и одно из отражений) и одна подгруппа
порядка 3, состоящая из трех вращений, включая тождественное.
\smallskip

Заметим, что во всех приведенных примерах наблюдается такое явление:
если группа конечна и имеет порядок $n$, то подгруппы у нее бывают только
таких порядков $m$, которые являются делителями числа $n$.
Например, в группе $D_3$, имеющей порядок 6, нет ни одной подгруппы 
порядка 4. Это не случайно. На самом деле имеет место такая общая теорема.
\smallskip

{\bf Теорема Лагранжа.} Порядок конечной группы делится нацело на порядок
любой ее подгруппы.
\smallskip

\noindent
\begin{minipage}{3in}
{\sl Доказательство.}
Оказывается, что множество всех элементов группы $G$ можно разбить на
несколько непересекающихся подмножеств, каждое из которых содержит
ровно столько элементов, сколько подгруппа $H$.
Эта конструкция называется {\it разбиением группы на смежные классы 
по подгруппе}, и из нее очевидным образом вытекает утверждение теоремы.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{3in}
\begin{center}
\epsfxsize=4cm\epsfbox{cosets.eps}\\
{\small Смежные классы в группе порядка 15 по подгруппе порядка 5}
\end{center}
\end{minipage}
\medskip

Разбиение группы на смежные классы строится следующим образом.
Пусть $H=\{h_1,...,h_m\}$. Для произвольного элемента $g\in G$
положим
$$
   gH = \{gh_1,...,gh_m\}.
$$
Множество $gH$ называется смежным классом. В нем, очевидно, столько же
элементов ($m$), сколько в подгруппе $H$.
Заметим, что для разных элементов $g_1$ и $g_2$ смежные классы
$g_1H$ и $g_2H$ могут, вообще говоря, совпадать (т.е. списки
$\{g_1h_1,...,g_1h_m\}$ и $\{g_2h_1,...,g_2h_m\}$ могут
отличаться только порядком перечисления). Это так, например, если
$g_1$ и $g_2$ оба принадлежат подгруппе $H$ --- в этом случае
$g_1H=g_2H=H$.

Но --- что очень важно --- смежные классы $g_1H$ и $g_2H$ не могут
совпадать частично, т.е. если у них хотя бы один общий элемент, то 
они совпадают целиком. Для доказательства этого факта предположим,
например, что $g_1h_1=g_2h_2$. Отсюда вытекает, что элементы 
$g_1$  и $g_2$ отличаются друг от друга умножением на какой-то
элемент подгруппы $H$: $g_1=g_2h_2h_1^{-1}$, $g_2=g_1h_1h_2^{-1}$.
Следовательно, любой элемент смежного класса $g_1H$ можно записать так:
$$
  g_1h = g_2(h_2h_1^{-1}h) \in g_2H,
$$
поскольку $h_2h_1^{-1}h \in H$.
Точно так же получается, что любой элемент из множества $g_2H$
принадлежит множеству $g_1H$. Следовательно, $g_1H = g_2H$,
что и требовалось. Доказательство окончено.
\medskip

{\bf Задача.}
Перечислить все подгруппы в группах $C_6$, $D_2$.

\end{document}