\input alg-head \begin{center} {\Large Лекция 1}\\[1em] {\Large\bf Понятие о группе преобразований} \end{center} \bigskip {\bf История.} Поиск формул для решения алгебраичесикх уравнений в радикалах. Абель. Галуа. Жордан. С.Ли. Кристаллография. \medskip {\bf Пример.} Группа симметрий прямоугольника. Пусть $\Pi$ --- прямоугольник на плоскости. Существует четыре движения плоскости, при которых $\Pi$ переходит сам в себя: $I$ --- тождественное преобразование, $R$ --- поворот на $180^\circ$ вокруг центра прямоугольника, $H$ --- отражение (осевая симметрия) относительно горизонтальной прямой, $V$ --- отражение относительно вертикальной прямой, \begin{center} \epsfxsize=7cm\epsfbox{rectangl.eps} \end{center} Оказывается, что множество, состоящее из этих четырех элементов $$ G = \{I,R,H,V\}, $$ обладает определенной внутренней структурой, основанной на понятии композиции. \smallskip {\bf Определение.} Если $f$ и $g$ --- два преобразования одного и того же множества $M$, то их композиция $f\circ g$ --- это преобразование, заключающееся в последовательном выполнении сначала $g$, а потом $f$. Для любых двух преобразований из списка $\{I,R,H,V\}$ их композиция переводит наш прямоугольник в себя. Следовательно, такая композиция также принадлежит множеству $G$. Перебирая все пары, мы можем составить таблицу композиций (или таблицу умножение) нашей группы: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & I & R & V & H \cr \hline I & I & R & V & H \cr \hline R & R & I & H & V \cr \hline V & V & H & I & R \cr \hline H & H & V & R & I \cr \hline \end{array} $$ Теперь дадим точное определение группы преобразований. \medskip {\bf Определение.} Группа преобразований --- это совокупность преобразования данного множества, которая вместе с каждой парой элементов содержит их композицию, и для каждого элемента содержит обратное к нему преобразование. \medskip Замечания по поводу определения. 1. Всякая группа преобразований обязательно содержит тождественное преобразование. 2. Композиция преобразований обладает свойством ассоциативности $f\circ(g\circ h)=(f\circ g)\circ h$. 3. Если группа конечна, то второе свойство из определения вытекает их первого. \medskip Примеры: две бесконечные серии конечных групп преобразований. 1. $C_n$ --- группа, состоящая из поворотов плоскости вокруг фиксированного центра на углы, кратные $2\pi/n$. $C_n=\{I,R,...,R^{n-1}$. $R^n=I$. Порядок группы $|C_n|=n$. $R$ --- образующий элемент. 2. $D_n$ --- группа симметрий правильного $n$-угольника. Она включает в себя все элементы группы $C_n$ и, кроме того, $n$ различных отражений относительно осей симметрии многоугольника. \medskip {\sl Коммутативность.} Группа $G$ называется коммутативной, если групповая операция обладает свойством перестановочности $f\star g =g\star f$ для любых $f,g\in G$. Все группы $C_n$, а также группы $D_1$, $D_2$ коммутативны. Группы $D_n$ при $n\geqslant 3$ некоммутативны. \medskip {\sl Задача.} Составьте таблицу умножения для группы $D_3$. Убедитесь в том, что эта группа некоммутативна. \end{document}