\input alg-head

\begin{center}
{\Large Лекция 1}\\[1em]
{\Large\bf Понятие о группе преобразований}
\end{center}
\bigskip

{\bf История.}
Поиск формул для решения алгебраичесикх уравнений в радикалах.
Абель. Галуа. Жордан. С.Ли.
Кристаллография.
\medskip

{\bf Пример.} Группа симметрий прямоугольника.
Пусть $\Pi$ --- прямоугольник на плоскости.
Существует четыре движения плоскости, при которых $\Pi$ переходит сам в
себя: 
$I$ --- тождественное преобразование,
$R$ --- поворот на $180^\circ$ вокруг центра прямоугольника,
$H$ --- отражение (осевая симметрия) относительно горизонтальной прямой,
$V$ --- отражение относительно вертикальной прямой,

\begin{center}
\epsfxsize=7cm\epsfbox{rectangl.eps}
\end{center}

Оказывается, что множество, состоящее из этих четырех элементов
$$
   G = \{I,R,H,V\},
$$
обладает определенной внутренней структурой, основанной на понятии 
композиции.
\smallskip

{\bf Определение.} Если $f$ и $g$ --- два преобразования одного и того
же множества $M$, то их композиция $f\circ g$ --- это преобразование, 
заключающееся в последовательном выполнении сначала $g$, а потом $f$.

Для любых двух преобразований из списка
$\{I,R,H,V\}$ их композиция переводит наш прямоугольник в себя.
Следовательно, такая композиция также принадлежит множеству $G$.
Перебирая все пары, мы можем составить таблицу композиций (или таблицу
умножение) нашей группы:

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
  & I & R & V & H \cr
\hline
I & I & R & V & H \cr
\hline
R & R & I & H & V \cr
\hline
V & V & H & I & R \cr
\hline
H & H & V & R & I \cr
\hline
\end{array}
$$

Теперь дадим точное определение группы преобразований.
\medskip

{\bf Определение.}
Группа преобразований --- это совокупность преобразования
данного множества, которая вместе с каждой парой элементов содержит
их композицию, и для каждого элемента содержит обратное к нему
преобразование.
\medskip

Замечания по поводу определения.

1. Всякая группа преобразований обязательно содержит
тождественное преобразование.

2. Композиция преобразований обладает свойством
ассоциативности $f\circ(g\circ h)=(f\circ g)\circ h$.

3. Если группа конечна, то второе свойство из определения вытекает их первого.
\medskip

Примеры: две бесконечные серии конечных групп преобразований.

1. $C_n$ --- группа, состоящая из поворотов плоскости вокруг
фиксированного центра на углы, кратные $2\pi/n$.
$C_n=\{I,R,...,R^{n-1}$. $R^n=I$.
Порядок группы $|C_n|=n$.
$R$ --- образующий элемент.

2. $D_n$ --- группа симметрий правильного $n$-угольника.
Она включает в себя все элементы группы $C_n$ и, кроме того,
$n$ различных отражений относительно осей симметрии
многоугольника.
\medskip

{\sl Коммутативность.}
Группа $G$ называется коммутативной, если групповая операция
обладает свойством перестановочности $f\star g =g\star f$ для любых
$f,g\in G$.
Все группы $C_n$, а также группы $D_1$, $D_2$ коммутативны.
Группы $D_n$ при $n\geqslant 3$ некоммутативны.
\medskip

{\sl Задача.}
Составьте таблицу умножения для группы $D_3$.
Убедитесь в том, что эта группа некоммутативна.

\end{document}