\input alg-head.tex \begin{center} {\Large Лекция 2}\\[1em] {\Large\bf Общее понятие группы} \end{center} {\bf Определение.} Множество $G$ называется {\it группой}, если: (0) в $G$ определена {\it операция}, т.е. задано правило, по которому каждой паре элементов $(a,b)\in G$ сопоставляется третий элемент $a\star b\in G$. Операция $\star$ должна обладать следующими свойствами: (1) {\it ассоциативность\/}: $(a\star b)\star c = a\star (b\star c)$. (2) наличие {\it нейтрального элемента}, т.е. такого элемента $e\in G$, что $a\star e = e\star a = a$ для любого $a\in G$. (3) наличие у каждого элемента $a\in G$ {\it обратного}, т.е. такого элемента $b\in G$, что $a\star b = b\star a = e$. \smallskip Пояснения к определению группы. 1. Множество $G$ может состоять из элементов произвольной природы: это могут быть числа, наборы чисел, преобразования, алгебраические выражения, геометрические фигуры и т.д. и т.п. 2. Групповая операция $\star$ может быть задана каким угодно способом: формулой, алгоритмом, описанием --- важно лишь, чтобы она обладала тремя перечисленными свойствами. 3. Замечание по поводу обозначений. Если в качестве операции используется сложение (чисел, векторов и т.п.), то группу называют {\it аддитивной}, нейтральный элемент обозначают 0, а обратный для $a$ обозначают $-a$. Если в качестве операции берут умножение (чисел, матриц и т.п.), то группу называют {\it мультипликативной}, а обратный для $a$ обозначают $a^{-1}$. Как и в случае обычного умножения, в произвольной группе часто используется упрощенная запись $ab$ вместо $a\star b$, при этом говорят ``умножение элементов группы'' вместо ``применение групповой операции'', а элемент, обратный к $a\in G$, обозначают $a^{-1}$. \medskip {\bf Пример.} Образует ли группу каждое из перечисленных ниже множеств с указанной операцией? 1. все четные числа с операцией сложения. 2. все нечетные числа с операцией сложения. 3. все действительные числа с операцией вычитания. 4. все натуральные числа с операцией сложения. 5. все неотрицательные целые числа с операцией сложения. 6. все действительные числа с операцией $x*y=x+y-1$. \smallskip {\bf Ответы.} 1. Да. 2. Нет. Не выполняется свойство (0): сумма нечетных все нечетные числа с операцией сложения. 3. Нет. Нарушается свойство (1), например, $(1-2)-3=-4$, $1-(2-3)=2$. 4. Нет. Нарушается свойство (2): множество не содержит нейтрального элемента по отношению к сложению, т.е. числа 0. 5. Нет. Нарушается свойство (3): у положительных чисел в данном множестве нет обратного элемента по отношению к сложению. 6. Да. Поскольку операция нестандартная, здесь нужна полная проверка всех требований определения. Ассоциативность выполняется, т.к. $((x+y-1)+z)-1 = x+((y+z-1)-1)$ для любых чисел $x,y,z$. Нейтральный элемент --- число 1, так как $x*1=x+1-1=x$. Обратное к данному $x$ --- число $2-x$, так как $x*(2-x)=x+(2-x)-1=1$. \medskip {\bf Группы, часто встречающиеся в математике.} \begin{enumerate} \vspace{-5pt} \setlength\itemsep{0pt} \item Группы преобразований. Всякая группа преобразований является группой в указанном общем смысле, поскольку композиция преобразований всегда обладает свойством ассоциативности, а нейтральный элемент (тождественное преобразование) принадлежит любой группе преобразований, как было отмечено выше. \item Числовые группы. \begin{itemize} \vspace{-5pt} \setlength\itemsep{0pt} \item Аддитивные группы целых, рациональных, вещественных, комплексных чисел: $(\Z,+)$, $(\Q,+)$, $(\R,+)$, $(\C,+)$. \item Мультипликативные группы целых, рациональных, вещественных, комплек\-сных чисел (для целых чисел группа состоит из двух элементов; в остальных случаях берутся все числа, кроме нуля): $\{-1,1\},\cdot)$, $(\Q\setminus\{0\},\cdot)$, $(\R\setminus\{0\},\cdot)$, $(\C\setminus\{0\},\cdot)$. \end{itemize} \item Матричные группы \begin{itemize} \vspace{-5pt} \setlength\itemsep{0pt} \item Аддитивная группа матриц данного размера с элементами определенного вида. Например, $(\Mat(2,3,\R),+)$ --- группа матриц размера $2\times3$, состоящих из действительных чисел, относительно сложения. \item Мультипликативная группа квадратных матриц данного порядка с определителем, отличным от 0. Например, $\GL(2,\Z)$ --- группа целочисленных матриц вида $\pmatrix{a & b \cr c & d}$, где $a,b,c,d$ --- целые числа, причем $ad-bc\not=0$, с операцией умножения. \end{itemize} \end{enumerate} Задачи на дом. 1. Образует ли группу каждое из перечисленных ниже множеств с указанной операцией: (a) $(\R\setminus\Q,+)$ --- множество иррациональных чисел с операцией сложения. (b) Множество действительных чисел $(1,+\infty)$ с такой операцией: $x*y=xy-x-y+2$. (c) Множество всех двоично-рациональных чисел относительно операции сложения. (Число называется двоично-рациональным, если оно имеет вид $m/2^n$, где $m,n$ --- целые числа). (d) Множество всех двоично-рациональных чисел относительно операции умножения. 2. Найдите множество действительных чисел, образующее группу относительно операции $x\star y = (x+y)/(1-xy)$ и состоящее более чем из одного элемента. \end{document}