\input alg-head.tex

\begin{center}
{\Large Лекция 2}\\[1em]
{\Large\bf Общее понятие группы}
\end{center}

{\bf Определение.}
Множество $G$ называется {\it группой}, если:

(0) в $G$ определена {\it операция}, т.е. задано правило, по которому
каждой паре элементов $(a,b)\in G$ сопоставляется третий элемент
$a\star b\in G$. Операция $\star$ должна обладать следующими свойствами:

(1) {\it ассоциативность\/}: $(a\star b)\star c = a\star (b\star c)$.

(2) наличие {\it нейтрального элемента}, т.е. такого элемента $e\in G$,
что $a\star e = e\star a = a$ для любого $a\in G$.

(3) наличие у каждого элемента $a\in G$ {\it обратного},
т.е. такого элемента $b\in G$, что $a\star b = b\star a = e$.
\smallskip

Пояснения к определению группы.

1. Множество $G$ может состоять из элементов произвольной природы:
это могут быть числа, наборы чисел, преобразования, алгебраические
выражения, геометрические фигуры и т.д. и т.п.

2. Групповая операция $\star$ может быть задана каким угодно способом:
формулой, алгоритмом, описанием --- важно лишь, чтобы 
она обладала тремя перечисленными свойствами.

3. Замечание по поводу обозначений.
Если в качестве операции используется сложение (чисел, векторов и т.п.),
то группу называют {\it аддитивной}, нейтральный элемент обозначают 0,
а обратный для $a$ обозначают $-a$.
Если в качестве операции берут умножение (чисел, матриц и т.п.),
то группу называют {\it мультипликативной},
а обратный для $a$ обозначают $a^{-1}$.
Как и в случае обычного умножения, в произвольной группе
часто используется упрощенная запись $ab$ вместо $a\star b$,
при этом говорят ``умножение элементов группы'' вместо ``применение
групповой операции'', а элемент, обратный к $a\in G$, обозначают
$a^{-1}$.
\medskip

{\bf Пример.}
Образует ли группу каждое из перечисленных ниже
множеств с указанной операцией?

1.   все четные числа с операцией сложения.

2.   все нечетные числа с операцией сложения.   

3.   все действительные числа с операцией вычитания.

4.   все натуральные числа с операцией сложения.

5.   все неотрицательные целые числа с операцией сложения.

6.   все действительные числа с операцией $x*y=x+y-1$.
\smallskip

{\bf Ответы.}
1.   Да.

2.   Нет. Не выполняется свойство (0): сумма нечетных
все нечетные числа с операцией сложения.

3.   Нет. Нарушается свойство (1), например,
$(1-2)-3=-4$, $1-(2-3)=2$.

4.   Нет. Нарушается свойство (2): множество не содержит
нейтрального элемента по отношению к сложению, т.е. числа 0.

5.   Нет. Нарушается свойство (3): у положительных чисел в данном
множестве нет обратного элемента по отношению к сложению.

6.   Да. Поскольку операция нестандартная, здесь нужна полная проверка
всех требований определения. Ассоциативность выполняется, т.к.
$((x+y-1)+z)-1 = x+((y+z-1)-1)$ для любых чисел $x,y,z$.
Нейтральный элемент --- число 1, так как $x*1=x+1-1=x$.
Обратное к данному $x$ --- число $2-x$, так как
$x*(2-x)=x+(2-x)-1=1$.

\medskip

{\bf Группы, часто встречающиеся в математике.}

\begin{enumerate}
\vspace{-5pt}
\setlength\itemsep{0pt}
\item
Группы преобразований.

Всякая группа преобразований является группой в указанном общем смысле, 
поскольку композиция преобразований всегда обладает свойством
ассоциативности, а нейтральный элемент (тождественное преобразование)
принадлежит любой группе преобразований, как было отмечено выше.

\item
Числовые группы.
\begin{itemize}
\vspace{-5pt}
\setlength\itemsep{0pt}
  \item Аддитивные группы целых, рациональных, вещественных, комплексных
чисел: $(\Z,+)$, $(\Q,+)$, $(\R,+)$, $(\C,+)$.
  \item Мультипликативные группы целых, рациональных, вещественных, 
комплек\-сных чисел (для целых чисел группа состоит из двух элементов;
в остальных случаях берутся все числа, кроме нуля): 
$\{-1,1\},\cdot)$, $(\Q\setminus\{0\},\cdot)$, 
$(\R\setminus\{0\},\cdot)$, $(\C\setminus\{0\},\cdot)$.
\end{itemize}

\item
Матричные группы
\begin{itemize}
\vspace{-5pt}
\setlength\itemsep{0pt}
  \item Аддитивная группа матриц данного размера с элементами
определенного вида. Например, $(\Mat(2,3,\R),+)$ --- группа
матриц размера $2\times3$, состоящих из действительных чисел,
относительно сложения.
  \item Мультипликативная группа квадратных матриц данного порядка
с определителем, отличным от 0. Например, $\GL(2,\Z)$ --- группа
целочисленных матриц вида $\pmatrix{a & b \cr c & d}$, где $a,b,c,d$
--- целые числа, причем $ad-bc\not=0$, с операцией умножения.
\end{itemize}

\end{enumerate}

Задачи на дом.

1. Образует ли группу каждое из перечисленных ниже
множеств с указанной операцией:

(a) $(\R\setminus\Q,+)$ --- множество иррациональных чисел с операцией
сложения.

(b) Множество действительных чисел $(1,+\infty)$ с такой операцией:
$x*y=xy-x-y+2$.

(c) Множество всех двоично-рациональных чисел относительно операции
сложения. (Число называется двоично-рациональным, если оно имеет вид
$m/2^n$, где $m,n$ --- целые числа).

(d) Множество всех двоично-рациональных чисел относительно операции
умножения. 

2. Найдите множество действительных чисел, образующее группу 
относительно операции $x\star y = (x+y)/(1-xy)$ и
состоящее более чем из одного элемента.

\end{document}