\input alg-head.tex

\begin{center}
{\Large Лекция 4}
{\Large\bf Циклические группы. Изоморфизм.}
\end{center}

В любой группе можно определить {\it возведение в степень},
полагая $a^0=e$ (нейтральный элемент группы),
$a^1=a$, $a^2=a\cdot a$, ..., $a^n=a\cdot a\ldots\cdot a$ (произведение 
$n$ сомножителей)
и $a^{-n}=(a^n)^{-1}$ (элемент, обратный к $a^n$) для $n>0$.

Из этого определения вытекает, что для любых целых чисел $k$ и $l$ 
(положительных, отрицательных, нуля) имеют место равенства
\begin{eqnarray*}
   a^k\cdot a^l &=& a^{k+l},\\
   (a^k)^{-1} &=& a^{-k}
\end{eqnarray*}
и. следовательно, имеет место такой факт:
\smallskip

{\it
Если $a$ --- элемент группы $G$, то множество
всех его положительных и отрицательных степеней
$$
  \langle a \rangle = \{...,a^{-2},a^{-1},a^0,a^1,a^2,...\}
$$
образует подгруппу в группе $G$.}
\smallskip

Эта подгруппа обозначается 
$\langle a \rangle$ и называется {\it подгруппой, порожденной
элементом $a$}. Сам элемент $a$ называется при этом 
{\it образующим\/} подгруппы $\langle a \rangle$.

\medskip

Конечная и беконечная циклическая группа

\medskip

Изоморфизм.

Задачи на дом.
1. Какие элементы в группе $C_{10}$ являются образующими?

2. Перечислить все подгруппы в группе $\Z_{10}$.

\end{document}