Университет города Переславля Дистанционный курс "Математические вычисления в системе MuPAD" С.В.Дужин, duzhin@u-aizu.ac.jp Ответы на задачи второго задания (по материалам писем) 19.04.96 Я получил решения задач второго задания от 6 студентов (см. список рассылки вверху этого письма). В педагогике известен закон экспоненциального убывания числа студентов, посещающих факультативные занятия. Посмотрим, как пойдет дело у нас. Начну с того, что в тексте 2-го задания была ошибка, которую обнаружила Ирина Каиль. Там было написано следующее: |В 17 веке Пьер Ферма (автор знаменитой теоремы, которая была доказана лишь |в 1994 году) заметил, что все числа вида 2^(2^n)+1 для n=0,1,2,3,4: | 2^0+1 | 2^1+1 | 2^2+1 | 2^4+1 | 2^16+1 На самом деле, если подставить указанные числа в указанную формулу, получится вот что: | 2^1+1 | 2^2+1 | 2^4+1 | 2^8+1 | 2^16+1 Теперь обсудим вопросы и задачи. | Задача 2-1. Доказать, что производная функции | I x - ln(exp(I x)^2 + 1) равна tan(x) (т.е. тангенсу x). Это был единственная задача собственно по математике во всем этом задании. И ее никто не решил. Рассказываю решение. Преобразуем выражение под знаком логарифма, пользуясь формулой Эйлера exp(I x)= cos(x) + I sin(x), где I -- мнимая единица: exp(I x)^2 + 1 = cos(x)^2 + 2I cos(x) sin(x) - sin(x)^2 + 1 = = 2 cos(x)^2 + 2I cos(x) sin(x) = 2 cos(x) [ cos(x) + I sin(x)] = 2 cos(x) exp(I x). Значит, по свойству логарифма, ln(exp(I x)^2 + 1) = ln(2) + ln(cos(x)) + I x, следовательно, I x - ln(exp(I x)^2 + 1) = - ln(2) - ln(cos(x)), т.е. данная функция отличается от функции -ln(cos(x)) на константу -ln(2) и, стало быть, имеет такую же производную tan(x). | Вопрос 2-2. Не знает ли кто-нибудь, как это сделать? | [заставить MuPAD дать ответ ln(2) на вопрос int(1/x,x=1..2)]. Вопрос остается без ответа, поскольку его никто не придумал. | Загадка 2-3. | >>6:3; | 3 | Почему она выдает цифру '3'? Некоторые заметили, что деление обозначается косой чертой, а не двоеточием. Но никто мне не сказал, что значит двоеточие. Отвечаю. Двоеточие (:) -- это почти то же самое, что точка с запятой (;), т.е. это признак окончания команды. Разница состоит в том, что если команда оканчивается на (;), ее результат тут же выдается, а если заканчивается на (:), то не выдается, хотя внутри она исполняется. Все это легко понять на следующих примерах: >> x:=10: >> x; 10 >> x:=11; 11 Теперь ответ на загадку: >>6:3; Обозначает последовательность ДВУХ отдельных команд: первая "напечатать число 6", вторая "напечатать число 3". При этом первая команда не выполняется, поскольку она заканчивается знаком (:). | Задача 2-4. Какое число больше: 1000! или 2^8000 ? Эту задачу все решили правильно, но почти все с большими затратами человеческого труда: подсчет числа строк на нескольких экранах ответа. Существуют менее трудоемкие способы, например: >> float(fact(1000)); 4.0238726e2567 >> float(2^8000); 1.737662031e2408 Здесь сразу видно, что первое число больше второго, посколько у него больше показатель степени, в которую возводится десятка (10^2567). Можно еще сосчитать, следуя Новикову и Дмитриеву, >fact(1000)-2^8000; и посмотреть на знак полученного ответа (+ или -). | Задача 2-4. Найдите значение знаменитых констант "e" и "пи" |с точностью до 80 знаков. Все решили, но мало кто прислал ответ. Перечитайте мое письмо про приемы обращения с данными (запись в файл, чтения из файла). Главное, никто не пишет, получается ли копировать мышкой из MuPAD в другое окно и вообще, в чем состоят технические трудности. | Вопрос 2-6. Поэкспериментируйте с командой ifactor и объясните мне |формат ответа, который она выдает: что обозначают цифры в квадратных |скобках? ПОЛНОГО объяснения списка в скобках никто не дал. Объясняю. Структура списка такова: вначале всегда стоит 1 (правда, зачем она нужна, непонятно; надо посоветовать авторам MuPAD'a ее убрать в следующем издании), затем наименьший простой делитель, затем показатель степени, с которым он входит в данное число, затем второй по величине простой делитель и опять его показатель степени и т.д. Таким образом, в списке всегда нечетное число элементов, причем на нечетных местах часто встречается единица. Вот типичный пример: 2220000 = 2^5 3^1 5^4 37^1. >> ifactor(2220000); [1, 2, 5, 3, 1, 5, 4, 37, 1] | Конкурс 1-й. Кто найдет самое большое простое число? В конкурсе приняло участие два числа: 36099884506428891167 (Ю.Терно) 6563457546543782656578453478323244317679 (Р.Дмитриев) Победило число Ромы Дмитриева. Поздравим победителя! (Это число меня, честно говоря, потрясло. Я не ожидал, что простоту числа длиной в 40 цифр можно установить за несколько секунд). | Конкурс 2-й. Кто найдет самое МАЛЕНЬКОЕ составное число, |которое командой ifact не разлагается на множители за 1 минуту? Здесь мне было предложено только одно число: 11111111111111111111111111111111111111 (И.Каиль) -- но оно тоже впечатляет. По поводу этого числа я хочу предложить всем участникам нашего педагогического эксперимента такую задачу: Задача 3-1. Докажите без помощи компьютера, что это число ~~~~~~~~~~ составное. Задание 3 будет посвящено графикам функций. Я постараюсь написать его завтра. Хотел сегодня, но не ожидал, что так долго буду сочинять ответы и решения по второму заданию. Да, кстати, если кто-нибудь обнаружит ошибки в работе программы MuPAD, можно смело писать авторам по электронной почте (образец такого письма я только что послал всем вам в виде копии). Правда, они не понимают по-русски, а только по-немецки и по-английски.