Матем. сб., 194 (2003), 5, 109-138.

Условие непроницаемости точки вырождения одночленного симметрического дифференциального оператора четного порядка

Ю. Б. Орочко
Московский государственный институт электроники и математики

Аннотация: Пусть $a(x)\in C^\infty[0,h]$, $b(x)\in C^\infty[-h,0]$, $h>0$, – действительные функции, не имеющие нулей на обозначенных отрезках. Зафиксируем числа $p>0$, $q>0$ и рассмотрим дифференциальные выражения (ДВ)

$$\begin{aligned} s_p^+[f](x)&=(-1)^n(x^pa(x)f^{(n)})^{(n)}(x)... ... s_q^-[f](x)&=(-1)^n((-x)^qb(x)f^{(n)})^{(n)}(x) \end{aligned}$$

произвольного четного порядка $2n$, вырождающиеся в точке $x=0$. Через $H_p^+$ и $H_q^-$ обозначим симметрические минимальные операторы, порожденные $s_p^+[f](x)$ и  $s_q^-[f](x)$ соответственно в гильбертовых пространствах $L^2(0,h)$ и $L^2(-h,0)$.

”Сшивая” ДВ $s_p^+[f](x)$ и  $s_q^-[f](x)$ в точке $x=0$, мы получаем новое ДВ $s_{pq}[f](x)$, $x\in[-h,h]$, вырождающееся в указанной внутренней точке отрезка $[-h,h]$. При определенных ограничениях на $p$ и $q$ ДВ  $s_{pq}[f](x)$ порождает симметрический минимальный оператор $H_{pq}$, действующий в $L^2(-h,h)$ и являющийся симметрическим расширением ортогональной суммы операторов $H_q^-\oplus H_p^+$. Мы называем точку $x=0$ внутренним барьером для ДВ  $s_{pq}[f](x)$ и находим условия, при которых справедливо равенство $H_{pq}=H_q\oplus H_p$. Естественно назвать такой внутренний барьер непроницаемым внутренним препятствием, если это равенство имеет место, и проницаемым внутренним препятствием, если оно несправедливо. Основной результат данной статьи состоит в том, что точка $x=0$ – непроницаемое внутреннее препятствие, если $p,q\geqslant 2n-\frac12$, причем этот результат является, в определенном смысле, точным.

Библиография: 8 названий.